Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции по теории вероятностей

.PDF
Скачиваний:
51
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
769.22 Кб
Скачать

В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из k1 белых и k k1 черных шаров вероятность получить этот набор при выборе k шаров из урны, содержащей n1 белых и n n1 черных шаров:

 

 

 

 

 

k1

 

k k1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(A) =

Cn1

Cn n1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cnk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

k1

 

k k1

 

 

 

Определение 8.

Соответствие

k1 7!

 

Cn1

Cn n1

,

или следующий набор

 

(A) =

 

Cnk

 

 

вероятностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

(

 

Cnk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1

k k1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cn1

Cn n1

; ãäå

0 6 k1 6 min(k; n1);

k

 

k1 6 n

 

n1

 

 

 

 

называется гипергеометрическим распределением.

10

Раздел 2. Геометрическая вероятность

2.1

×òî

это такое

 

 

q

 

Рассмотрим какую-нибудь область в Rm (на прямой, на плос-

'

 

$кости, в пространстве). Предположим, что «мера» (длина, пло-

 

 

 

 

щадь, объем, соответственно) конечна. Пусть случайный экспери-

 

 

 

 

&

 

%

 

A

 

 

мент состоит в том, что мы наудачу бросаем в эту область точку.

 

 

 

 

Термин «наудачу» здесь означает, что вероятность попадания

точки в любую часть A не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит

лишь от «меры» области A (если A измеримо, см. замечание 6).

Определение 9. Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы можно изобразить точками некоторой области в Rm так, что вероятность попадания точки в любую часть A не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит лишь от меры области A (и, следовательно,

пропорциональна этой мере):

 

 

 

P( 2 A) =

(A)

; ãäå

(A) обозначает меру области

A:

( )

«Мерой» мы пока будем называть длину, площадь, объем и т.д.

Если для точки, брошенной в область , выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области .

Пример 7. Точка наудачу бросается на отрезок [0,1]. Вероятность точке попасть в точку f0:5g равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), есть 0. Вместе с тем попадание в точку f0:5g не является невозможным событием

— это один из элементарных исходов эксперимента.

2.2Задача о встрече

Пример 8. Два лица X и Y условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти

âлюбое время в течение указанного часа независимо от другого?

Ре ш е н и е. Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть («кси») и («эта»)´ — моменты прихода X и Y (точки отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента — множество точек квадрата со стороной 1:

= f( ; ) : 0 6 6 1; 0 6 6 1g = [0; 1] [0; 1].

6

-

1/6

1

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества A = f( ; ) : j j 6 1=6g (10 минут = 1/6 часа). То есть попадание в множество A наудачу брошенной в квадрат точки означает, что X и Y встретятся. Тогда вероятность встречи равна

P(A) = ( ) =

1

1

5

 

2

 

 

 

6

= 36:

 

(A)

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

2.3Задача Бюффона

Пример 9. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена игла длины 2l < 2a. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Р е ш е н и е. Поймем, что означает здесь «наудачу брошена игла». Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причем две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга.

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

6

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

l

 

 

'

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

? -

x

6

 

 

 

 

a

x = l sin '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим через x 2 [0; a] расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а через ' 2 [0; ] — угол между каким-то направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника = [0; ] [0; a]. Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: x 6 l sin '.

Площадь области A , точки которой удовлетворяют такому неравенству, равна

 

 

(A) =

0

 

 

= 2l:

 

 

 

l sin ' d' = l cos ' 0

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

È òàê êàê ( )

= a ,

то искомая вероятность

равна

P(A) =

2l

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

2.4Парадокс Бертрана

Пример 10 ( Josef Bertrand, “Calcul des Probabilites", 1888).

В круге единичного радиуса наудачу выбирается хорда. Какова вероятность того, что ее длина будет больше, чем длина стороны вписанного в круг правильного треугольника?

«Р е ш е н и е».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sLEA

 

 

 

 

 

 

 

 

ELA

 

 

 

EELALA

s

 

 

 

 

E

LA

 

 

 

 

E

LA

 

 

 

 

E

LA

 

 

 

 

 

E

L

 

 

 

 

 

E

 

Есть по крайней мере три способа «выбрать наудачу хорду в круге».

1.Зафиксируем одну точку (конец хорды) на окружности и выберем наудачу на окружности другую точку (второй конец хорды). Здесь = [0; 2 ], а благоприятными являются положения второй точки на интервале [2 =3; 4 =3] (хорды, поме-

ченные на рисунке красным цветом). Вероятность получить

1

«длинную» хорду равна 3.

12

 

 

r

 

2. Существует ровно одна хорда, для которой данная точка в

 

 

 

круге является серединой1. Можно поэтому выбирать нау-

дачу хорду, бросая наудачу точку (середину хорды) в круг.

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

Здесь — круг радиуса 1, ( ) = , а благоприятными явля-

 

T

 

 

 

 

 

 

TT

 

r

 

 

ются положения середины хорды внутри вписанного в тре-

 

 

 

 

 

 

T

 

 

угольник круга (радиусом 1/2). Вероятность получить «длин-

 

 

 

T

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ную» хорду равна отношению площадей кругов, то есть

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Наконец, можно ограничиться рассмотрением только хорд,

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

перпендикулярных какому-либо диаметру (остальные могут

 

 

 

b

b

 

 

быть получены поворотом). То есть эксперимент может со-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

t

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

стоять в выборе середины хорды наудачу на диаметре круга

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

"""

 

— отрезке длиной 2. Благоприятными являются положения

 

 

 

 

"

 

 

 

середины хорды на отрезке длиной 1. Искомая вероятность

 

 

 

""

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

для такого эксперимента равна

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

В чем причина разницы в ответах на, казалось бы, один и тот же вопрос? На самом деле формулировка задачи не корректна с математической точки зрения. «Выбор наудачу хорды в круге» может быть по-разному описан с помощью геометрического определения вероятности (что мы и сделали). То есть этот «эксперимент» можно по-разному описать с помощью выбора наудачу точки в некоторой области.

Слово «эксперимент» взято в кавычки не напрасно: сказав «в круге наудачу выбирается хорда», мы еще не описали физического эксперимента. Действительно, каждому из трех предложенных способов выбора хорд можно сопоставить конкретный физический эксперимент (всякий раз другой).

Так что парадокс исчезает сразу, как только получен ответ на вопрос: что значит «в круге наудачу выбирается хорда»?

Заканчивая обсуждение понятия геометрической вероятности, сделаем очень важное для дальнейшего замечание.

Замечание 6. Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, далеко не для всех множеств A вероятность может быть вычислена как отношение меры A к мере . Причиной этого является существование так называемых «неизмеримых» множеств, то есть множеств, мера которых не существует.

А если не для всех подмножеств мы можем определить их вероятности, следует сузить класс множеств, называемых «событиями», оставив в этом классе только те множества, для которых мы можем определить вероятность.

В следующей главе мы займемся построением (вслед за Андреем Николаевичем Колмогоровым) аксиоматики теории вероятностей: познакомимся с понятиями -алгебры (или поля) событий, вероятностной меры, вероятностного пространства, а также докажем сформулированные в параграфе 1.2 свойства вероятности.

1Кроме того случая, когда брошенная наудачу точка попадет в центр круга. Но поскольку вероятность этого события равна нулю, то учет или неучет такого события не влияет на итоговую вероятность

13

Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей

3.1-алгебра событий

Пусть — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.

То есть событиями мы будем называть не любые подмножества , а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» F. При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество F подмножеств было «замкнуто» относительно введенных в параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов F) снова давало событие (то есть элемент F).

Определение 10. Множество F, состоящее из подмножеств множества (не обязательно всех!) называется -алгеброй событий, èëè -алгеброй подмножеств , если выполнены следующие условия:

(A1)

2 F

( -алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2)

åñëè A 2 F, òî

 

2 F

(вместе с любым событием -алгебра содержит проти-

A

 

воположное событие);

 

 

 

åñëè A1; A2; : : : 2 F, òî

1

 

(A3)

S Ai 2 F

(вместе с любым конечным или счетным

i=1

набором событий -алгебра содержит их объединение).

Условия (A1)–(A3) часто называют «аксиомами -алгебры».

Проверим, что этого набора аксиом достаточно (даже более чем достаточно - убедитесь, что первая аксиома следует из двух оставшихся) для замкнутости множества F

относительно других операций над событиями.

Свойство 1. ? 2 F

( -алгебра событий содержит невозможное событие).

Доказательство. Ïî (A1), 2 F, íî ? = n = 2 F â ñèëó (A2).

Свойство 2. При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно свойству (A4)

 

åñëè A1; A2; : : : 2 F, òî

1

 

(A4)

T Ai 2 F

(вместе с любым конечным или счетным

i=1

набором событий -алгебра содержит их пересечение).

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1),(A2) из (A3) следует (A4).

Åñëè A1; A2; : : : 2 F, то при всех i = 1; 2; : : : по свойству (A2) выполнено Ai 2 F. Тогда из

1

S

(A3) следует, что Ai 2 F, и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит

 

 

 

 

i=1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

S

 

 

 

S

 

 

iT

F, òî åñòü i=1 Ai 2 F. Но, в силу формул двойственности, i=1 Ai =

=1 Ai, ÷òî è ò.ä.

Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.

14

Свойство 3. Åñëè A; B 2 F, òî AnB 2 F.

Доказательство. AnB = A \ B 2 F, так как A 2 F, B 2 F, и по (A4) их пересечение тоже принадлежит F.

Пример 11. Пусть = f1; 2; 3; 4; 5; 6g — пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств являются

-алгебрами (доказать!):

1.F = f ; ?g = ff1; 2; 3; 4; 5; 6g; ?g — тривиальная -алгебра.

2.F = f ; ?; f1g; f1gg = ff1; 2; 3; 4; 5; 6g; ?; f1g; f2; 3; 4; 5; 6gg.

 

 

 

3.F = f ; ?; A; Ag = f1; 2; 3; 4; 5; 6g; ?; A; A , где A — произвольное подмножество (в предыдущем примере A = f1g).

4.F — множество всех подмножеств . Доказать, что если состоит из n элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно 2n элементов.

Итак, мы определили специальный класс F подмножеств пространства элементарных исходов , названный -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из F снова дает множество из F (не выводит за рамки этого класса). Множества A 2 F мы и назвали «событиями».

Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событию ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру, заданную на -алгебре F подмножеств .

3.2Вероятность как нормированная мера

Определение 11.

Пусть — некоторое множество и F — -алгебра его подмножеств. Функция: F ! R [ f1g называется мерой на ( ; F), если она удовлетворяет условиям:

(M1) Для любого множества A 2 F его мера неотрицательна: (A) > 0.

(M2) Для любого счетного набора

попарно

 

непересекающихся множеств

A1; A2; A3; : : : 2 F (то есть такого, что Ai \ Aj

= ? ïðè âñåõ i 6= j) ìåðà èõ

 

 

1

!

 

1

 

 

[

 

Xi

объединения равна сумме их мер:

 

i=1 Ai

=

=1 (Ai) («счетная аддитив-

ность» или « -аддитивность» )

Иначе говоря, мера есть неотрицательная, счетно-аддитивная функция множеств.

15

Определение 12. Пусть — некоторое множество и F — -алгебра его подмножеств. Мера : F ! R называется нормированной, если ( ) = 1. Другое название нормированной меры — «вероятность» èëè «вероятностная мера».

То же самое еще раз и подробно:

Определение 13.

Пусть — пространство элементарных исходов и F — -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью èëè вероятностной мерой на ( ; F) называется функция P : F ! R, обладающая свойствами:

(P1) Для любого события A 2 F выполняется неравенство

P(A) > 0;

(P2) Для любого счетного набора попарно несовместных событий A1; A2; A3; : : : 2 F имеет место равенство

1

!

1

 

[

 

X

 

P

Ai =

P(Ai);

 

i=1

 

i=1

 

(P3) Вероятность достоверного события равна единице:

P( ) = 1.

Свойства (P1)–(P3) часто называют «аксиомами вероятности».

Определение 14. Тройка h ; F; Pi, в которой — пространство элементарных исходов, F — -алгебра его подмножеств и P — вероятностная мера на F, называется

вероятностным пространством.

Докажем свойства вероятности, вытекающие из аксиом. Здесь и в дальнейшем под знаком вероятности появляются только события!

0.P(?) = 0.

Доказательство. События Ai = ?, i = 1; 2; : : : , попарно несовместны, и их объединение есть также пустое множество. По аксиоме (P2),

11

XX

P(?) =

P(Ai) = P(?):

Это возможно только в случае P(?) = 0.

i=1

i=1

 

1.Для любого конечного набора попарно несовместных событий A1; : : : ; An 2 F имеет место равенство

n ! n

[X

P

Ai = P(Ai):

i=1

i=1

Доказательство. Пусть Ai = ? при любом i > n. Вероятности этих событий, по предыдущему свойству, равны нулю. События A1; : : : ; An; ?; ?; ?; ?; : : : попарно несовместны, и, по аксиоме (P2),

P

=1 Ai!

= P

i=1 Ai!

=

i=1 P(Ai) =

i=1 P(Ai):

 

n

 

1

 

1

n

 

i[

 

[

 

X

X

16

2.P(A) = 1 P(A).

Доказательство. A [ A = , и события A, A несовместны. По аксиоме (P3) и

предыдущему свойству, 1 = P( ) = P(A) + P(A):

3.Åñëè A B, òî P(BnA) = P(B) P(A).

Доказательство. B = A [ (BnA), и события A, BnA несовместны. По аксиоме (P2),

P(B) = P(A) + P(BnA).

4.Åñëè A B, òî P(A) 6 P(B).

Доказательство. По предыдущему свойству, P(A) = P(B) P(BnA) 6 P(B). Последнее неравенство следует из (P1), т.к. P(BnA) > 0.

5.0 6 P(A) 6 1.

Доказательство. P(A) > 0 по (P1), и т.к. A , то по предыдущему свойству

P(A) 6 P( ) = 1.

6.P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B).

Доказательство. A \ B B, поэтому P(Bn(A \ B)) = P(B) P(A \ B). Но события A и Bn(A \ B) несовместны, поэтому

P(A [ B) = P(A [ Bn(A \ B)) = P(A) + P(Bn(A \ B)) = P(A) + P(B) P(A \ B):

7.P(A [ B) 6 P(A) + P(B).

Доказательство. Сразу следует из предыдущего свойства и аксиомы (P1).

n

P

8.P(A1 [ : : : [ An) 6 P(Ai). Доказать методом математической индукции.

i=1

n

9.

 

 

 

 

 

Xi

 

 

X

 

 

 

 

 

 

P(A1 [ A2 [ : : : [ An) =

P(Ai) P(Ai \ Aj) +

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

i<j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

X

P(Ai \ Aj \ Am) : : : + ( 1)n 1P(A1 \ A2 \ : : : \ An):

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i<j<m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Базис индук-

 

ции при n = 2 — свойство 6 выше. Пусть свойство 9 верно при n = k 1. Докажем,

 

что тогда оно верно при n = k.

 

 

 

i=1 Ai

! + P (Ak) P

Ak \ i=1 Ai!

 

 

 

P

=1 Ai! = P

 

i=1 Ai

[ Ak! = P

(3)

 

 

 

k

 

 

k 1

 

 

 

 

 

k 1

 

k 1

 

 

 

 

i[

 

 

[

 

 

 

 

 

[

 

[

 

 

По предположению индукции, первое слагаемое в правой части (3) равно

 

 

P

k 1

Ai ! =

k 1

P(Ai)

6 X

 

P(Ai \ Aj) +

 

 

 

i=1

i=1

 

 

 

 

 

[

 

X

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

X6

i<j6k

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

P(Ai \ Aj \ Am) : : : + ( 1)k 2P(A1 \ A2 \ : : : \ Ak 1):

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i<j<m k

 

1

 

 

 

 

 

 

 

17

16i<j<m6n

Вычитаемое в правой части (3) равно

P Ak \ i=1

Ai!

= P

i=1 (Ai \ Ak)!

= i=1 P(Ai \ Ak)

 

 

P(Ai \ Aj \ Ak)+

k 1

 

 

k 1

k 1

6 X

 

 

[

 

 

 

[

X

 

1

16

 

X6

 

 

1

i<j6k

 

 

P(Ai \ Aj \ Am \ Ak) : : : + ( 1)k 2P(A1 \ A2 \ : : : \ Ak 1 \ Ak): (5)

+

 

 

 

 

i<j<m

k

1

 

 

 

 

 

Подставить (4),(5) в

(3) и довести до конца шаг индукции.

 

 

Приведем пример задачи, в которой использование свойства 9 — самый простой путь решения.

Пример 12. Есть n писем и n подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в предназначенный ему конверт и предел этой вероятности при n ! 1.

Р е ш е н и е. Пусть событие Ai, i = 1; : : : ; n означает, что i-å письмо попало в свой конверт. Тогда

A = fхотя бы одно письмо попадет в свой конвертg = A1[ : : : [An:

И так как события A1; : : : ; An совместны, придется использовать формулу (2). Нетрудно

убедиться, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(Ai) =

1

 

äëÿ âñåõ

i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

(n 2)!

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(A

 

\

A

 

) =

=

 

 

 

 

 

äëÿ âñåõ

i = j;

 

i

j

 

 

n(n

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

6

 

P(A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 3)!

 

 

 

 

1

 

 

 

äëÿ âñåõ i = j = m; : : : ;

 

 

\

A

j \

A

 

) =

=

 

 

 

 

 

 

 

 

i

m

 

n(n

 

1)(n

 

2)

 

 

 

 

1

n!

 

 

 

 

6 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(A1 \ : : : \ An) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим количество слагаемых в каждой сумме в

формуле (2). Например, в сумме

X

ровно Cn3

слагаемых — ровно столько трех-элементных множеств можно обра-

зовать из n элементов, и каждое такое множество fi; j; mg встречается в индексах данной суммы единажды.

Подставляя все вероятности в формулу (2), получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

3

 

 

1

 

 

n 1 1

 

 

 

 

 

 

 

P(A) = n

 

Cn

 

 

 

+ Cn

 

 

 

 

 

: : : + ( 1)

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

n

n(n

 

1)

n(n

 

1)(n

 

2)

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

n 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

+

 

: : : + ( 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

3!

 

n!

Выписать разложение e 1

в ряд Тейлора и убедиться, что P(A) ! 1 e 1 при n ! 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3О борелевской -алгебре и мере Лебега

Следующий параграф предназначен только для тех, кто не испугался всего сказанного выше и хочет познакомиться с понятиями « -алгебра борелевских множеств» è «мера Лебега».

Борелевская -алгебра на прямой

Пример 13. Пусть = R — вещественная прямая. Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся -алгебрами, и увидим, как их можно дополнить до -алгебр.

1.Множество A = f ; ?; [0; 1]; f0gg = fR; ?; [0; 1]; f0gg не является -алгеброй, так как, например, [0; 1] = Rn[0; 1] = ( 1; 0)[(1; 1) 62A. Минимальный набор множеств, содержащий A и являющийся -алгеброй (минимальная -алгебра), получится, если включить в него всевозможные объединения, пересечения и дополнения множеств из A:

F = f R; ?; [0; 1]; f0g; ( 1; 0)[(1; 1); (0; 1]; ( 1; 0][(1; 1); ( 1; 0)[(0; 1) g

Более точно, минимальной -алгеброй, содержащей набор множеств A, называется пересечение всех -алгебр, содержащих A.

2.Найти минимальную -алгебру, содержащую A = fR; ?; [0; 1]; f3gg

3.Пусть множество A подмножеств вещественной прямой R состоит из всевозможных

открытых интервалов (a; b), где a < b: A = f(a; b) : 1 < a < b < 1g.

(a) Проверить, что A ни в коем случае не является -алгеброй!

Указание: привести примеры двадцати множеств из A, дополнения к которым не принадлежат A; привести примеры пяти множеств из A, любые объединения которых не принадлежат A.

(b)Минимальная -алгебра, содержащая множество A всех интервалов на вещественной прямой, называется борелевской -алгеброй в R (Felix Edouard Justin Emile Borel) и обозначается B или B(R).

(c)Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в B. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в B, требуются специальные построения.

Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат B, и B — -алгебра.

R принадлежит B. Это сразу следует из свойства (A1) -алгебры, но может быть

доказано исходя из свойств (A2), (A3).

1

S

Действительно, R = ( n; n). Так как все эти интервалы лежат в A, а

n=1

A B, то все эти интервалы принадлежат B. Но B — -алгебра, поэто-

му она содержит счетное объединение любых своих элементов. Поэтому

1

S

R = ( n; n) 2 B.

n=1

Любой интервал вида (a; b ] ( или [a; b), или [a; b ] ), где a < b, принадлежит B.

Действительно, (a; b ] =

nT

a; b + 1

 

1

, и так как все эти интервалы лежат в B, то

 

=1

n

 

 

 

 

их счетное пересечение должно по свойству (A4) принадлежать B.

19

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.