Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции по теории вероятностей

.PDF
Скачиваний:
63
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
769.22 Кб
Скачать

Итого: есть ряд, составленный из вероятностей, сумма которого тоже есть вероятность и, следовательно, конечна. А из того, что ряд сходится, по замечанию 12 вытекает сходимость «хвоста» ряда к нулю. Осталось посмотреть на этот хвост и убедиться, что он равен как раз той вероятности, сходимость к нулю которой нам нужно доказать. Точно так же докажем и остальные свойства.

По замечанию 14, для доказательства lim F (x) = 1 достаточно доказать, что F (n) ! 1

x!1

ïðè n ! 1, èëè ÷òî 1 F (n) = P( > n) ! 0.

Представим событие f > 11g (например :-) как счетное объединение событий:

 

 

 

1

 

f > 11g = f11 6 < 12g [ f12 6 < 13g [ f13 6 < 14g [

i[

 

: : : = fi 6 < i + 1g:

 

 

 

=11

 

В силу -аддитивности вероятности,

 

 

 

1

1

 

1

 

X

1; и, по замечанию 12,

Xi

< i + 1g ! 0:

Pf > 11g =

Pfi 6 < i + 1g 6

Pfi 6

i=11

Xi

 

=n

 

Íî

 

 

 

Pfi 6 < i + 1g = Pf > ng = 1 F (n);

 

=n

и сходимость F (x) к единице при x ! 1 доказана.

Доказательство свойства (F3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно замечанию 14, достаточно доказать, что F x0

 

! F (x0) ïðè n ! 1. Èëè,

n

что то же самое, доказать, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= P x0

n 6 < x0

! 0:

 

 

 

F (x0) F x0 n = P( < x0) P < x0 n

(11)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представим событие f < x0g как счетное объединение событий:

 

 

 

 

 

 

 

f < x0g =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 6 < x0

3

[ x0 3 6 < x0 4

[ : : : =

= f < x0 1g [ x0 1 6 < x0 2 [ x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= f < x0 1g [

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1 x0 i 6

< x0 i + 1 :

 

В силу -аддитивности вероятности,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

6

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pf < x0g = Pf < x0 1g + i=1

P x0 i

 

< x0 i + 1 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=n P x0

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому снова

 

 

i 6 < x0

i + 1 ! 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=n P x0

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Íî

i 6 < x0

i + 1

= P x0 n 6 < x0

, и эта вероятность, как мы только

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что видели, стремится к нулю с ростом n.

 

Тогда, по (11), F (x) ! F (x0)

ïðè x ! x0 0

(непрерывность слева).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

Следующая теорема говорит о том, что три доказанных свойства полностью описывают класс функций распределения. То, что любая функция распределения ими обладает, мы с вами доказали, а теорема утверждает, что любая функция с такими свойствами есть функция распределения.

Теорема 19. Если функция F : R ! [0; 1] удовлетворяет свойствам (F1)–(F3), òî

Fесть функция распределения некоторой случайной величины , то есть найдется вероятностное пространство h ; F; Pi и случайная величина на этом пространстве, что

F(x) F (x).

Эту теорему мы доказывать не станем. Хотя ее можно попробовать доказать конструктивно

— предъявив то вероятностное пространство (проще всего отрезок = [0; 1] с -алгеброй боре-

левских множеств и мерой Лебега :-) и ту случайную величину, о существовании которых идет

речь. Непременно попробуйте сделать это! Например, можно попробовать, не подойдет ли

(!) = supfx : F (x) < !g.

Прочие полезные свойства функций распределения

 

F4) В любой точке x0

разница

F (x0+0) F (x0) равна

P( = x0):

 

F

(

x

0+0)

 

F

(

x

 

lim

F

(x)

 

F

(x

) = P( = x

);

или, иначе,

 

 

 

 

0) = x!x0+0

 

 

 

0

 

0

 

F (x0+0) =

 

lim

F (x) = F (x0) + P( = x0) = P( 6 x0):

 

 

 

 

 

x!x0+0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение 9. Докажите сами (точно так же, как мы доказывали (F2) è (F3)).

Заметим, что разница

F (x0+0) F (x0) между пределом при стремлении к x0 справа

и значением в точке x0 есть величина скачка функции распределения, и равна нулю, если функция распределения непрерывна (справа) в точке x0. Слева, напомню, функция распределения непрерывна всегда.

Следствие 4. Если функция распределения F (x) непрерывна в точке x0, òî

P( = x0) = 0:

F5) Для любой случайной величины имеет место равенство P(a 6 < b) = F (b) F (a).

Если же функция распределения F (x) непрерывна (для любого x, или только в точках a и b), то

P(a 6 < b) = P(a < < b) = P(a 6 6 b) = P(a < 6 b) = F (b) F (a):

Доказательство. Доказывать нужно только равенство P(a 6 < b) = F (b) F (a), поскольку все остальные равенства следуют из него с учетом следствия 4. Напомню, что этим равенством мы уже много раз пользовались, доказывая свойства (F2), (F3).

Заметим, что f < ag [ fa 6 < bg = f < bg, и первые два события несовместны. Поэтому

Pf < ag + Pfa 6 < bg = Pf < bg;

или F (a) + Pfa 6 < bg = F (b), что и требовалось доказать.

41

Функция распределения дискретного распределения

Мы уже видели, как выглядят функции распределения некоторых дискретных распределений.

Из свойств (F4), (F5) следует

Свойство 6. Случайная величина имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения F — ступенчатая функция. При этом возможные значения — точки ai скачков F , è pi = P( = ai) = F (ai+0) F (ai) — величины скачков.

Упражнение. Доказать, что любая функция распределения имеет не более чем счетное число точек разрыва (или «скачков»). Указание. Сколько скачков величиной более 1/2 может иметь функция распределения? А величиной более 1/3? Более 1/4?

В следующей главе мы рассмотрим случайные величины, функции распределения которых не удовлетворяют свойству 6 хотя бы потому, что они вовсе не имеют разрывов. Более того, мы выделим класс функций распределения, которые «восстанавливаются по своей производной» с помощью интегрирования (так называемые абсолютно непрерывные функции).

42

Раздел 8. Абсолютно непрерывные распределения

Определение 29.

Случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f (x) такая, что для любого x 2 R функция распределения F (x) представима в виде

 

x

 

При этом функция f (x) называется плотностью

F (x) =

Z

f (t) dt:

распределения случайной величины .

 

1

 

 

Теорема 20.

Плотность распределения обладает свойствами:

 

1

(f1) f (x) > 0 для любого x; (f2)

R1 f (t) dt = 1.

Доказательство. (f1) выполнено по определению плотности. Докажем (f2).

1

x

ZZ

def

lim

f (t) dt = lim F (x) = 1

по свойству (F2) функций распределения.

f (t) dt =

1

x!1

x!1

 

1

 

 

Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Лемма 3. Если функция f обладает свойствами (f1) è (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина на нем, для которой f является плотностью распределения.

Доказательство. Пусть есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции f («подграфик» функции f). Площадь области равна 1 по свойству (f2). И пусть случайная величина есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область. Тогда (вспомнить геометрическую вероятность) для любого x 2 R

F (x) = P( < x) = P(точка попала в область Dx) =

площадь x

x

f(t) dt;

= Z

 

площадь D

 

 

 

 

1

 

то есть f является плотностью распределения случайной величины .

43

Свойства плотностей

(f3) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения всюду непрерывна.

x

R

Доказательство. Этот факт следует из представления F (x) = f (t) dt и непрерыв-

1

ности интеграла как функции верхнего предела.

Следствие 5. Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то P( = x) = 0 для любого x 2 R.

(f4) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее

функция распределения дифференцируема почти всюду, и f (x) = F 0(x) = dxd F (x) для почти всех x.

Замечание 15. Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно) x из некоторого множества нулевой меры (длины)». Заметьте, что стоящую под интегралом функцию можно изменить в одной точке (или на множестве нулевой длины), и интеграл («площадь подграфика») от этого не изменится.

(f5) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то

P(a < < b) = P(a 6 < b) = P(a < 6 b) = P(a 6 6 b) = Za

b

f (t) dt:

Доказательство. Действительно, P(a 6 < b) = F (b) F (a) =

b

a

f (t) dt f (t) dt.

 

1

1

Остальные равенства вытекают из следствия 5.

R

R

8.1Примеры абсолютно непрерывных распределений

Равномерное. Это распределение нам уже знакомо. Говорят, что имеет равномерное распределение на отрезке [a; b], и пишут = Ua;b, åñëè

F (x) = P( < x) =

8x a

; a x b

f (x) =

8

1

 

; a x b

 

 

 

 

0;

x < a;

 

 

0;

 

x < a;

 

 

 

>b a

6 6

 

>b a

6 6

 

 

 

 

>

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

>1;

x > b;

 

 

>0;

 

x > b:

 

Заметьте, что в точках

a

è

>b

 

 

недифференцируема,>

 

è ïëîò-

 

: функция распределения

 

:

 

 

 

 

ность можно задать как угодно.

Показательное. Говорят, что имеет показательное распределение с параметром ,

> 0 и пишут = E , если

(1 e x; x > 0;

 

( e x; x > 0:

F (x) = P( < x) =

f (x) =

 

0;

x < 0;

 

0;

x < 0;

44

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «нестарения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

Теорема 21. Свойство «нестарения».

Пусть = E . Тогда для любых x; y > 0

P( > x + y > x) = P( > y):

Упражнение 10. Доказать «свойство

нестарения».

Упражнение 11. Доказать, что если неотрицательная случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение и обладает свойством «нестарения», то есть для любых x; y > 0

P( > x + y > x) = P( > y);

то она имеет показательное распределение с некоторым параметром .

Нормальное. Говорят, что имеет нормальное распределение с параметрами a и 2, где a 2 R, > 0, и пишут = Na; 2 , если имеет следующую плотность распределения:

 

1

 

 

(x a)2

 

 

 

2 2

f (x) =

p

 

e

 

 

для любого x 2 R:

2

 

Убедимся, что f (x) действительно является плотностью распределения. Так как f (x) > 0 для всех x 2 R, то свойство (f1) выполнено. Проверим выполнение (f2). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

e x2=2 dx = p

 

:

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

R

R R

 

 

 

 

 

Этот интеграл вычисляется так:

R

 

=2 dx

 

2

 

= (цилин-

1 e x2

1 e y2=2 dy =

1 1 e (x2

+y2)=2 dx dy

 

1

 

 

1

1 1

 

 

1

 

 

дрическая замена переменных x = r cos ,

y = r sin , dx dy

= r dr d )

=

 

2

=2 dr d =

R R re r

2 1

2

 

 

 

 

 

 

R0

R0

e r

=2 d(r2=2) d = 2 .

 

1

 

 

1

 

 

 

(x a)2

Z

f (x) dx =

Z

p2

e

 

 

 

 

 

 

1

 

2 2

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

замена переменных

 

 

dx = " t =

x a

, dx = dt

# =

 

 

1

 

p2 e

t2=2

dt = p2

= Z

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

0 0

1

Z

e t2=2 dt = 1:

1

Нормальное (иначе называемое гауссовским по имени Карла Гаусса, см. график плотности на купюре 10 DM) распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.

45

8.2Свойства нормального распределения

Нормальное распределение задается, как мы видим, с помощью плотности распределения. Связано это с тем, что нельзя выписать первообразную от функции e x2 иначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде:

x

 

 

 

(t a)2

F (x) = a; 2 (x) = Z

p2

e

 

dt:

 

1

 

2 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы часто будем использовать обозначение a; 2 (x) для функции распределения нормального распределения с параметрами a и 2.

Исключительно полезно нарисовать график плотности и функции распределения (отметив точки экстремума, перегибов, посчитав значение в точке максимума плотности и расстояние между точками перегибов). График плотности и функции распределения нормального распределения можно также посмотреть здесь: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/PlotDist.html.

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение Na; 2 ïðè a = 0 è 2 = 1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид

f (x) =

p2

e x

=2

при любом x 2 R, а функция распределения 0;1(x) =

x

p2

e t =2 dt

Z

 

1

2

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

1

 

 

табулирована (то есть ее значения вычислены при многих x) почти во всех математиче- ских справочниках. Установим связь между a; 2 è 0;1.

 

 

 

 

 

 

 

2 R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a;

 

 

0;1

 

 

 

Свойство 7.

Для любого x

 

справедливо соотношение

 

 

2

(x) =

 

x

a

.

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

замена переменных

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a; 2 (x) =

1

e 2 2

2

dt =

x a

1

e

 

 

dy = 0;1

x a :

 

2 y =

 

,

dt = dy

=

 

 

x

 

 

(t a)

 

 

 

t

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

=2

 

 

 

 

 

Z

p

 

 

 

 

6 t = x

 

 

 

 

 

 

 

7

Z

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

7!

y =

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

То же самое на языке случайных величин можно сформулировать так:

 

Следствие 6.

Åñëè = N

 

2 , òî

=

a

= N

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a;

 

 

 

 

0;1

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a;

 

 

 

0;1

 

F

(x) = P( < x) = P

 

a

< x = P( < x + a) =

 

2 ( x + a) =

 

x + a a

 

=

 

(x):

 

 

 

 

 

 

 

46

Следствие

 

7.

Åñëè = Na; 2 ,

 

òî

 

 

 

 

 

 

 

 

0;1

 

 

 

1

 

2

 

a;

 

2

 

 

 

a;

1

 

0;1

 

 

 

P(x

 

< < x

) =

 

2

(x

)

 

 

 

2 (x

) =

 

x2

a

 

 

 

x1 a

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как мы видим, вычисление любых вероятностей для нормально распределенной слу- чайной величины сводится к вычислению функции распределения 0;1. Ее свойства (нарисовать их на графике плотности стандартного нормального распределения!!):

Свойство 8.

 

 

0;1(0) = 0:5.

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойство 9.

 

 

0;1( x) = 1 0;1(x).

 

 

 

 

 

 

 

Свойство 10.

 

Åñëè

= N0;1, òî P(j j < x) = 1 2 0;1( x) = 2 0;1(x) 1.

Доказательство.

P(j j < x) = P( x < < x) = 0;1(x) 0;1( x) = (по свойству 9)

= 1 2 0;1( x) = 2 0;1(x) 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойство 11 («Правило трех сигм»).

Åñëè

= Na; 2 ,

òî

 

 

 

 

 

P(j aj > 3 ) = 0:0027

(мало, в общем :):

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

 

j j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

P( a > 3 ) = 1 P( a < 3 ) = 1 P

 

 

 

< 3 :

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

Но величина =

 

 

 

имеет стандартное нормальное распределение,

и можно использо-

 

 

 

вать свойство 10: 1 P(j j < 3) = 1 (1 2 0;1( 3)) = 2 0;1( 3) = 2 0:00135 = 0:0027 (найти в таблице!).

Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [a 3 ; a + 3 ], всегда полезно.

47

Раздел 9. Случайные вектора и их распределения

Определение 30. Если случайные величины 1; : : : ; n заданы на одном вероятностном пространстве, то вектор ( 1; : : : ; n) мы будем называть случайным вектором.

Определение 31. Функция F 1;:::;n (x1; : : : ; xn) = P( 1 < x1; : : : ; n < xn) называется

функцией распределения случайного вектора ( 1; : : : ; n) èëè функцией совместного распределения случайных величин 1; : : : ; n.

9.1Свойства функции совместного распределения

Для простоты обозначений все дальнейшие рассуждения и формулировки приводятся в случае n = 2 для случайного вектора ( 1; 2).

F0)

0 6 F 1;2 (x1; x2) 6 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1)

F 1;2 (x1; x2) не убывает по каждой координате вектора (x1; x2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F2)

Для любого i = 1; 2 существует

lim

F 1;2 (x1; x2) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi! 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для любого i = 1; 2 существует

lim F 1;2 (x1; x2). Ïðè ýòîì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

1;2 (1

; x

def

lim

F

 

(x

; x

) = F

 

(x

);

F

(x

;

1

def

lim

F

 

 

(x

; x

 

F

 

 

x

 

:

 

2) =

 

 

) =

 

 

2) =

 

(

1)

 

 

 

x1!1

 

1;2

1

2

 

 

2

2

 

1;2

1

 

 

x2!1

 

1

;2

1

 

 

1

 

 

F3) Функция F 1;2 (x1; x2) по каждой координате вектора (x1; x2) непрерывна слева.

Доказательство этих свойств совершенно аналогично одномерному случаю.

Только теперь этих свойств оказывается недостаточно для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих свойств для некоторой функции F : R2 ! R вовсе не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.

Упражнение 12. Доказать, что функция

(

F (x1; x2) =

0; x1 6 0 èëè x2 6 0 èëè x1 + x2 6 1;

1; иначе, то есть когда одновременно x1 > 0; x2 > 0; x1 + x2 > 1:

a) удовлетворяет всем свойствам (F0)-(F3);

б) не является функцией распределения никакого вектора ( 1; 2) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдется и прямоугольник [a1; b1] [a2; b2], вероятность попасть в который (вычисленная с помощью этой «функции распределения») отрицательна:

P(a1 6 1 < b1; a2 6 2 < b2) < 0!

Как же связана вероятность вектору попасть в прямоугольник с функцией распределения этого вектора?

Упражнение 13. Доказать, что

P(a1 6 1 < b1; a2 6 2 < b2) = F 1;2 (b1; b2) F 1;2 (a1; b2) F 1;2 (b1; a2) + F 1;2 (a1; a2):

(12)

48

Оказывается, если потребовать дополнительно от функции F , чтобы для всякого прямоугольника [a1; b1] [a2; b2] вероятность P (a1 6 1 < b1; a2 6 2 < b2), связанная с функцией F равенством (12), была неотрицательна, то любая функция, обладающая этим свойством и свойствами (F0)-(F3), уже будет функцией распределения некоторого случайного вектора.

На самом деле существо свойства (F2) в той его части, что касается предела на бесконеч-

ности, весьма туманно. Утверждает это свойство гораздо больше, чем просто «предел функции совместного распределения при стремлении одной координаты к бесконечности есть тоже функция распределения». Но как в общем случае проверить, что это не просто «некая функция распределения», но функция распределения оставшейся координаты векто-

ра ( 1; 2)? Если, не лукавя, рассмотреть в упражнении 12 F1(x1) = limx2!1 F (x1; x2) и

F2(x2) = limx1!1 F (x1; x2), то обе эти функции являются функциями распределения (выро-

жденного закона, т.е. случайных величин 1 = 0 и 2 = 0 п.н.). Но две вырожденные случайные

величины независимы, и их функция совместного распределения равна 1 в первом квадранте (включая его границу) и нулю в остальных квадрантах, но никак не равна F . Оставляю на суд читателя вопрос о том, выполнено ли все-таки условие (F2) для F из упражнения 12.

9.2Типы многомерных распределений

Ограничимся рассмотрением только двух случаев, когда совместное распределение координат случайного вектора ( 1; 2) ëèáî дискретно, ëèáî абсолютно непрерывно.

Дискретное совместное распределение

Определение 32. Говорят, что случайные величины 1; 2 имеют дискретное совместное распределение, если существует конечный или счетный набор fai; bjg такой, что

11

XX

P( 1 = ai; 2 = bj) = 1:

i=1 j=1

Таблицу, на пересечении i-й строки и j-го столбца которой (или наоборот) стоит число

P( 1 = ai; 2 = bj), называют таблицей совместного распределения случайных величин 1

è 2.

Замечание 16. Напомню, что таблицы распределения каждой из случайных вели- чин 1, 2 в отдельности (таблицы частных, или маргинальных распределений) восстанавливаются по таблице совместного распределения с помощью очевидных формул:

1

1

 

 

X

Xi

 

= bj) = P( 2 = bj):

P( 1 = ai; 2 = bj) = P( 1 = ai);

P( 1

= ai; 2

j=1

=1

 

 

Если эти формулы вам не представляются очевидными, необходимо вернуться к разделу 4 и перечитать определение 18 полной группы событий, обратив также внимание на доказательство теоремы 8 (формулы полной вероятности).

49