§7.6. Экстремум в системах неравенств

Математическими объектами, задаваемыми системами неравенств, в трехмерном случае являются объемные геометрические фигуры, границы которых описываются некоторыми функциями. Формулировка задачи выглядит следующим образом: найти экстремум функции , заданной системой неравенств

Задача отыскания подобного экстремума математического объекта сводится к решению нескольких систем.

1. Исследование функции , определяемой из уравнения , на локальный экстремум при условии справедливости неравенства , т. е.

2. Исследование функции , определяемой из уравнения , на локальный экстремум при условии справедливости неравенства , т. е.

3. Исследование функции , определяемой из уравнения , описывающего линию пересечения поверхностей.

ПРИМЕР. Исследовать на экстремум функцию , заданную системой неравенств

Решение. Первая из систем

п озволяет найти максимальное значение при условии , что не противоречит условию .

Из второй системы

можно сделать вывод о росте функции с ростом . Ограничения на следуют из неравенства . Следовательно, .

На границе, являющейся пересечением поверхностей, выполняется равенство

,

откуда следует . В точках на этой окружности функция . Следовательно, наибольшее значение функции , наименьшее значение функции . На рис. 7.21 приведена область, ограниченная данными неравенствами. Стрелками указаны точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.

ПРИМЕР. Исследовать на экстремум функцию , заданную системой неравенств

Р ешение. 1. Исследуем функцию на локальный экстремум в области , т. е. рассмотрим систему

Необходимые условия

дают стационарную точку с координатами , в которой . Неравенство в стационарной точке выполнено.

2. Функция не имеет локального экстремума, поэтому система

не дает решений при исследовании на локальный экстремум.

3. Рассмотрим поведение функции на пересечении поверхностей. Решим систему

Выразив переменную из второго уравнения как , подставим ее в первое уравнение. Тогда .

После преобразования получим функцию в неявном виде

.

Приравняв нулю производную неявной функции

,

получим: при . Из системы уравнений

а также из равенства найдем стацио­нар­ную точку с координатами

и стационарную точку с координатами

.

Выбирая из наибольшее и наименьшее значения, окончательно получим и . На рис. 7.22 построены области и . Стрелками указаны полученные точки .

 В действительности, рассматривая теорию алгебраических линий на плоскости и алгебраических поверхностей, профессор Гессе ввел понятие определителя подобной матрицы, названный позже гессианом.