§7.5. Экстремум в системах функций
Изучение экстремумов математических объектов, задаваемых несколькими функциями, является более сложной задачей. В общем случае задачу можно сформулировать так: найти экстремум функции , заданной системой функций
(13)
К такой системе сводится задача на условный максимум производственной функции при бюджетном ограничении , в котором денежные средства , отпущенные на закупку ресурсов, уже не являются постоянной величиной , а зависят от величины выпуска и «подпитываются» долей дохода: . Чем лучше работает предприятие, тем большие средства оно может отпустить на закупку сырья, энергообеспечение, аренду и т.д. Задача на условный экстремум с переменным бюджетным ограничением формулируется так
Н а рис.7.18 изображен график функции Кобба-Дугласа. Рассмотрены три варианта уравнения связи. При условный экстремум находится в точке . Если , условный максимум перемещается в точку . Наконец, при условный максимум оказывается в точке .
Если величина возникает положительная обратная связь, если - отрицательная. Простым преобразованием второго уравнения задача с обратной связью сводится к исследованию на экстремум в системе функций
Поиск решения начнем с нахождения множества таких точек на координатной плоскости Oxy, в которых значения функций системы равны
.
Решение этого уравнения подставим в одну из функций и исследуем на экстремум функцию . Критическая точка для функции задает стационарную точку на плоскости Oxy, в которой возможен экстремум .
Поскольку и , найдем производную по , которая в критической точке будет равна нулю:
и
Отсюда при условии и получим
(14)
Найденное выражение представляет необходимые условия в задаче на условный экстремум с обратной связью.
Метод Лагранжа при исследовании на условный экстремум в системах функций
Поскольку каждое уравнение системы при исследовании на экстремум можно привести к виду и , то в критической точке должен быть равен нулю дифференциал каждой функции
Умножим первое и второе равенства на и соответственно, причем , не равны нулю одновременно
Слева в равенстве стоит дифференциал функции, которую назовем функцией Лагранжа и обозначим через
Сама функция имеет вид
Исследуя функцию на локальный экстремум, подберем один из множителей , так, чтобы в некоторой точке было выполнено равенство
Поскольку дифференциал функции равен нулю, то также, причем .
Таким образом, система
выражает необходимые условия локального экстремума функции . Система содержит две переменные величины и два параметра и . Для нахождения 4-х неизвестных добавим уравнение связи и одно из равенств или .
Итак, условия первого порядка при нахождении локального экстремума функции Лагранжа и условного экстремума с обратной связью функции сформулированы:
Последнее условие можно заменить на равенство + , поскольку
Из первых двух уравнений системы найдем , считая и
,
что совпадает с равенством (14).
Перейдем к достаточным условиям условного экстремума с обратной связью. Возьмем дифференциал от обеих частей в уравнении связи
,
откуда, считая, что , найдем
Подставим выражение во второй дифференциал функции Лагранжа
.
Преобразуя, получим
.
Второй сомножитель в скобках переписываем как окаймленный гессиан
.
Его знак к критической точке указывает на локальный минимум или максимум функции , а, следовательно, на условный минимум или максимум функции :
если то
если то
ПРИМЕР 1. Найти экстремум в системе функций
Решение. Функция Лагранжа задачи на условный экстремум с обратной связью имеет вид
.
Найдем необходимые условия
Разделив 1-е уравнение на 2-е, получим Подставим в 3-е уравнение, будем иметь
. Для функции Кобба-Дугласа в стационарной точке существует максимум. Его величина На рис. 7.18 представлены условные максимумы для трех значений . При при отсутствии обратной связи получим стандартный условный экстремум , точка В случае положительной обратной связи с коэффициентом имеем , точка При отрицательной обратной связи с коэффициентом максимум соответствует точке
Если исследуемая функция не является дифференцируемой, метод Лагранжа не применим.
ПРИМЕР 2. Исследовать на экстремум функцию , заданную системой уравнений
Решение. Область значений функции . Найдем корни уравнения
,
для чего возведем его в квадрат
.
П осле сокращения уравнение примет вид . Следовательно, или . При получим . Очевидно, минимальное значение равно при и . Другой случай приводит к тому же результату. Отметим, что представляет глобальный минимум функции . На рис. 7.17 изображены графики функций и , Пересекающиеся по плоскостям и . Линии пересечения поверхностей указаны красным цветом.
Некоторые из функций системы могут быть заданы в неявном или параметрическом виде.
П РИМЕР 3. Исследовать на экстремум функцию , заданную системой уравнений
Решение. Подставим в первое уравнение:
.
Представим уравнение как квадратное относительно :
.
Его решение
подставим во второе уравнение системы. Получим
.
Исследуем функцию на экстремум с помощью производной.
.
Уравнение
при имеет решение . При решение . Исследование знаков производной показывает, что в точке достигается максимум , в точке - минимум .
Окончательно, получаем , .
Графики обеих функций представлены на рис. 7.20. Стрелками указаны минимум и максимум функции , причем минимум наблюдается, а максимум скрыт под поверхностью сферы. Для улучшения обзора из сферы удалена часть поверхности.