2.2. Зарождение математических и астрономических знаний

Необходимость считать, формирование таких важных абстракций как число и фигура, вызвано к жизни практическими потребностями. В первую очередь, необходимость ориентироваться во времени для сельскохозяйственных работ, привела к созданию календаря. Необходимость строительства и земледелия требовала знаний о пространстве и фигурах. Обмен продуктами – необходимость математических операций и т.д.

Археологические исследования показывают, что сначала операции с числами были опосредованы манипуляциями с предметами. Вначале считали с помощью подручных средств: пальцев, камней, еловых шишек, палочек. Следы этого сохранились в названиях математических операций. Например, calculus в переводе с латинского означает «счет камешками». Ряд натуральных чисел сначала был конечен и удлинялся постепенно.

С развитием письменности сложились различные системы символов для записи чисел и операций с ними. Появились разнообразные системы счисления, которые постепенно совершенствовались и унифицировались.

В настоящее время во всем мире используется единая десятичная позиционная система нумерации. Ей предшествовали:

1. Иероглифические непозиционные системы счета. В них существуют узловые числа (чаще всего – 1, 10, 100, 1000). Каждое такое число имеет индивидуальный символ – иероглиф. Остальные числа (алгоритмические) образуются приписыванием с той или другой стороны узлового числа других узловых чисел и повторением их. К таким системам относятся египетская, финикийская, сирийская, ацтекская, римская и другие системы счета. В римской системе узловыми числами являлись: I, V, X, L, C, D, M.

2. Алфавитные системы счисления. В этих системах буквы алфавита, взятые по 9, используются для обозначения единиц, десятков, сотен. Каждой букве дается отличительный знак, что она используется как число, например, палочка сверху. Примером алфавитной системы счета является греческая ионическая система Древнейшая, сохранившаяся ее запись относится к V в. до н.э. К алфавитной системе относятся, древнеславянская (кириллица и глаголица), еврейская, арабская, грузинская, армянская системы счета.

3. Позиционные недесятичные, а затем и десятичные системы счета. К ним относятся: вавилонская, индийская системы счета. (Запись в позиционной десятичной системе с нулем впервые появились около V в. до н.э. в Индии).

Исчисление времени

Необходимость создания календаря, ориентации в процессе путешествий стимулировали накопление не только математических, но и астрономических знаний. Далекое небо оказалось в поле пристального внимания еще на заре человеческой цивилизации. Наблюдения за Солнцем, Луной и звездами привели к созданию – лунного, солнечного и смешанного календарей, а также изобретению часов.

Например, история создания календаря Месопотамии очень показательна. Сначала месопотамские жрецы установили, что продолжительность лунного месяца – около 29 суток. В условиях жаркого и сухого климата Междуречья нужно было заблаговременно подготовить водохранилища, углубить и отремонтировать каналы и колодцы. Своевременность этих работ во многом зависела от правильности предсказаний жрецов, а, значит, и от правильности вычисления даты начала нового года. Жрецы сосчитали, что от одного разлива реки до другого Син (имя бога Луны) вновь рождался на западе 12 раз, т.е. ровно столько, сколько раз происходило новолуние.

Таким образом, жрецы создали первый календарь, состоящий из 12 месяцев, в которых поочередно было по 29 и 30 дней, а сам год состоял из 354 дней. Но довольно скоро жрецы заметили свою ошибку: в ожидаемое время река не разлилась. Казалось, что между богами произошел конфликт и теперь Евфрат не слушался Сина, отказываясь разливаться в «положенное ему время». Стараясь скорректировать свои вычисления, жрецы время от времени добавляли к 12 месяцам еще один — 13-й, чтобы подогнать время разлива реки к началу нового года, но путаница при таких вычислениях была неизбежна. Жрецы вновь стали изучать особенности движения Луны и после многовековых наблюдений составили карту, согласно которой путь ночного светила проходил через двенадцать созвездий, названия которым были даны, исходя из их отдаленного сходства с животными или людьми. До сих пор мы пользуемся этими названиями: лев, скорпион, телец, козерог и др., позже греки назовут эти 12 созвездий зодиаком — «кругом зверей». Жрецы пунктуально записывали даты каждого нового рождения Луны и полнолуний, но количество дней между новолуниями менялось от 29 до 30. Еще сложнее было согласовать такие единицы времени, как месяц и сутки: если продолжительность месяца зависела от фаз Луны, то длина суток — от восхода и захода Солнца. Перед жрецами встала новая проблема: как соотнести эти две величины.

Казалось бы, каждый день утром Солнце встает на востоке и каждый вечер садится на западе, но долгота дня при этом постоянно разная, и лишь два раза в год день и ночь равны по своей продолжительности. Для того чтобы, с одной стороны, соотнести год и сутки, а с другой — чтобы было легче ориентироваться во времени в течение дня, вавилонские жрецы придумали солнечные часы — гномон. В землю втыкался длинный прямой шест, от которого падала тень, передвигавшаяся соответственно движению Солнца по небу. Круг, который описывала тень в течение дня, жрецы разделили на равные двенадцать частей — точно по количеству месяцев в году, кроме того, число двенадцать прекрасно вписывалось в шестидесятеричную систему счета в Месопотамии. Но, наблюдая за движениями Луны и Солнца, жрецы-астрономы не могли не заметить, что звездное небо тоже меняется. Из месяца в месяц Луна рождалась у разных созвездий, как бы переходя от одного к другому по очереди, так же как и Солнце.

Со временем была выявлена и закономерность этих перемещений светил, позволившая предугадывать, в каком созвездии появится Луна в следующее новолуние. Однако самым важным открытием жрецов того времени было следующее: Солнце из года в год проходит все созвездия в одной и той же последовательности и после того, как опишет полный круг, возвращается в начало своего пути — в точку весеннего равноденствия, когда начинал разливаться Евфрат. Таким образом, стала известна общая траектория движения Солнца, но проследить ее более точно было достаточно сложно: днем не видно созвездий, а ночью нет Солнца. Сейчас уже трудно сказать: благодаря каким расчетам жрецы пришли к выводу, что в течение дня Солнце делает на небе 180 шагов (считая, что один «шаг» равен двум диаметрам светила, жрецы сделали вывод, что и за ночь Солнце проходит столько же шагов, таким образом, за сутки светило «шагало» 360 раз). Стоит отметить, что число шагов, случайно или специально, прекрасно укладывалось в шестидесятеричную систему счета, кроме того, именно с этим нововведением жрецов связана традиция делить круг на 360 градусов (само же слово «градус» в переводе с латинского языка означает «шаг»). Далее жрецы предположили, что за день солнце на один шаг приближается к востоку и за 360 дней, проходя все 12 созвездий, возвращается в исходную точку — начинается новый год.

Поначалу жрецы радовались, что, наконец, создан верный календарь: казалось, что сами боги устроили так, что год продолжается 360 дней. Но многолетние наблюдения за светилом не могли скрыть ошибки — Солнце замыкает зодиакальный круг не за 360, а за 364 с четвертью дня. В лунном же календаре дней было и того меньше — всего 354. Казалось, жрецы вновь встали в тупик: как же все-таки соединить лунный и солнечный календари? Задача была достаточно сложной: каждый год должен состоять из целого числа месяцев, каждый месяц — из целого числа дней, при этом каждый новый месяц должен начинаться с новолуния и, что самое главное, начало года должно совпадать с весенним равноденствием, за которым следовал разлив Тигра и Евфрата. Жрецы вновь погрузились в расчеты, которые привели к достаточно остроумным выводам: раз в календаре каждый раз не хватает 11 с четвертью дней, то за восемь лет их набегает уже 90 — как раз 3 месяца по 30 дней. Значит, календари можно соединить, если в течение восьми лет три раза добавить по одному лишнему месяцу — тринадцатому. Но добавлять этот месяц следовало так, чтобы начало года четко совпадало с днем весеннего равноденствия. Этого можно было достичь, прибавляя лишний месяц ко второму, пятому и седьмому году восьмилетки.

Таким образом, в VI в. до н.э. шумеры были первыми, кто смог согласовать лунные месяцы с солнечным годом, допуская при этом минимальные погрешности. Но кроме деления года на 12 месяцев, а месяца на 30 или 29 дней, шумеры первыми ввели семидневную неделю. Хотя, на первый взгляд, может показаться и странным, что при шестидесятеричной системе счета в неделе вдруг оказалось семь дней, но на самом деле все достаточно просто. По представлениям жрецов-астрономов, каждым днем в неделе управляла одна из планет, а так как в то время было известно семь планет, то и дней в неделе стало тоже семь. Так, воскресеньем управляло Солнце, понедельником — Луна, вторником — Марс, средой — Меркурий, четвергом — Юпитер, пятницей — Венера, а субботой, которая считалась самым неудачным днем, — Сатурн. Эти представления, которые скорее относятся к области астрологии, чем хронологии, в измененном виде дошли до наших дней. И хотя теперь тяжелым и неудачным днем принято считать понедельник, но в названиях дней недели во многих языках отразилась связь с планетами, повелевающими ими.

История календаря в Египте

В Египте, так же как и в Месопотамии, календарь появился благодаря наблюдениям жрецов-астрономов. Основной функцией календаря было предсказание даты разлива Нила, о скором наступлении которого трудно было судить на основе погодных примет. Несколько месяцев до разлива полноводной реки дул сухой жаркий ветер, сменяемый более прохладным и влажным, постепенно начинала прибывать вода в реке, но лишь в один из дней в году ее уровень достигал своего максимума — и река разливалась по равнине, обещая хороший урожай земледельцам. И необходимо было каким-то способом вычислить именно этот день — начала долгожданного разлива главной водной артерии Египта. Уже в конце IV — начале III тыс. до н.э. жрецы заметили, что среди множества звезд на небе есть одна особенно яркая. Ее назвали Сотис, или Сириус. В зимнее время эта звезда сияла необыкновенным светом в течение все ночи, и ее было невозможно спутать с какой-либо другой, но затем Сотис появлялся лишь вечером на западе, а вскоре и вовсе пропадал за горизонтом. Но примерно через два месяца Сириус вновь появлялся на востоке, и его обычно можно было заметить в ранние утренние часы. А через несколько дней после его восхода разливался Нил, а кроме того, как позже заметят жрецы, день первого появления Сотиса всегда совпадал с днем весеннего равноденствия.

Таблица положений звезд,высеченная на стене усыпальницы фараона

Так как, согласно религиозным представлениям древних египтян, начало весны и разлив Нила ассоциировался с ежегодным воскрешением бога Осириса, о чем нам рассказывает известный миф, то и восход Сириуса египтяне связывали со своими религиозными представлениями. Теперь звезда, оповещавшая о начале нового сезона, виделась им небесным воплощением, «душой» богини Исиды — матери Осириса. Каждый год богиня оплакивала своего погибшего сына, роняя слезы в Нил, и каждый год весной слезы переполняли реку и ее воды разливались по Египту, долина покрывалась молодыми зелеными всходами, расцветали деревья, символизируя воскрешение Осириса. Так египтяне пытались объяснить взаимосвязь между восходом Сотиса и разливом Нила. Теперь было достаточно сосчитать, сколько дней проходит от одного восхода звезды до другого, и получился бы временной отрезок, равный одному году, начало которого всегда бы совпадало с разливом Нила и летним солнцестоянием. Таким образом, египтяне были первыми, кто создал календарь на основе движения Солнца. Используя результаты своих наблюдений, жрецы пришли к выводу, что год состоит из 365 дней, которые жрецы для удобства счета разбили на 12 месяцев по 30 дней в каждом плюс 5 дней, которые праздновались как дни рождения наиболее почитаемых в Египте богов. Первым месяцем в году, который и начинался с появлением на горизонте Сотиса, был Тот. Но вскоре жрецам пришлось усомниться в правильности своих расчетов: если считать, что в году 365 дней, то 366-ой был первым днем следующего года. Но тогда получалось, что если в этом году Сотис взошел в первый день месяца Тот, то через четыре года он появится только второго числа, а еще через четыре года — третьего. В чем же ошибка? Несколько десятков лет понабилось жрецам-астрономам, чтобы догадаться, что в году не ровно 365 дней, а 365 с четвертью, поэтому-то и появляется этот «лишний» день каждые четыре года.

Таким образом, получалось, что праздник Нового года должен был смещаться и праздноваться на один день позже каждые четыре года. Какой бы странной ни показалась нам эта традиция праздновать начало года в разные дни, а затем и месяцы, но в глазах жрецов это было вполне допустимо, ибо «такой небесный порядок установили сами боги». С такой «переходящей» датой Нового года связана довольно интересная легенда. Как гласит предание, в 2782 г. до н. э. в Египте оборвалась старая и началась новая династия фараонов. Будущему правителю непременно хотелось, чтобы начало его царствования совпало с началом года и праздником в честь восхода Сириуса. Это желание было вызвано еще и тем, что в тот год восход звезды приходился как раз на первое число месяца Тот, что случалось лишь раз в 1460 лет. И тогда фараон решил, что он подарит каждому из своих 70 самых важных сановников по одному дню царствования. И когда прошли 70 дней правления «однодневных царей», то фараон вступил на престол, как он и хотел, в первый день Нового года.

Подобная практика переноса даты начала года просуществовала в Египте вплоть до 238 г. до н.э., когда один из придворных астрономов посоветовал правящему тогда Птолемею III исправить существовавший календарь таким образом, чтобы он не расходился с солнечным годом и стал более устойчивым. Царя удивило, каким простым оказалось решение проблемы «кочующего года», и 7 марта 238 г. до н.э. царь приказал установить недалеко от храма в Канопе камень с высеченным на нем указом, названным впоследствии Канопским декретом. Суть его сводилась к тому, что если раз в четыре года дата восхода Сотиса сдвигается на один день, то для того, чтобы Новый год всегда наступал 1-го Тота надо всего лишь раз в четыре года добавить к последнему месяцу еще один день. Таким образом продолжительность каждого четвертого года становилась 366 дней, так появился високосный год. Обычный же год состоял из 12 месяцев по 30 дней каждый, в конце года оставшиеся 5 дней объявлялись праздниками, каждый из которых посвящался одному из наиболее почитаемых богов: Гебу и его супруге богине Нут, Осирису, Гору, Сету, Исиде и Нефтиде. Год также делился на 4 сезона, каждый из которых состоял из 4 месяцев. День в Древнем Египте состоял из 24 часов (12 дневных и 12 ночных).

Ночью точный час определялся по звездам, с помощью линейки с прорезанной щелью и двух наугольников со свинцовым отвесом на бечевке. Сама процедура вычисления часа может показаться нам достаточно забавной: в ней участвовали два человека — наблюдатель и его помощник. Помощник становился спиной к звездам, а наблюдатель — напротив него. Далее, сверяясь со специальной таблицей, составляемой жрецами вперед на 15 дней, в которой оговаривалось расположение наиболее ярких звезд по отношению к голове помощника, наблюдатель определял время.

Клепсидра — водяные часы

Днем же, когда звезд не видно, египтяне определяли время при помощи специальной конической вазы, высотой приблизительно с локоть и с отверстием в дне. Объем вазы и диаметр отверстия рассчитывался мастерами таким образом, что вода вытекала из нее за 12 часов; внутри такой вазы делались специальные насечки, отмечавшие уровень воды, соответствующий каждому из 12 часов. Снаружи вазу обычно украшали астрономическими знаками: наверху божества 12 месяцев, а в нижних ярусах — 36 знаков зодиака. Такие водяные часы называются клепсидрами, они использовались и днем, и ночью, хотя в солнечном Египте в течение дня удобнее было пользоваться солнечными часами. Но в любом случае, точное определение часа было необходимо только жрецам, от которых требовалось проведение магических ритуалов строго в одно и то же время, обычным же людям часы были не нужны.

Календарь Древнего Китая

Так же как и в других древних государствах, где земледелие было основным занятием населения и календарь был необходим прежде всего для предсказания сезонных изменений погоды и разливов рек, в Китае во II тыс. до н.э. были заложены основы летоисчисления на основе наблюдений за фазами Луны — т.е. положено начало лунному календарю. Год в древнем Китае начинался в период зимнего солнцестояния, и, как подсчитали древнекитайские астрономы, от одного зимнего солнцестояния до другого проходило чуть больше чем 365 суток. И так же, как и перед вавилонскими и египетскими жрецами, перед ними встала задача: как поступить с неполным последним днем года. Но, в отличие от Месопотамии, в Китае астрономы пришли к выводу, что новолуние совпадает как раз с днем зимнего солнцестояния каждые 235 лунных месяцев, или 19 солнечных лет. Вскоре после этого открытия, в VI в. до н.э., в Китае был введен 19-летний цикл — чжан. Но тут астрономов подстерегала новая проблема: дело в том, что за 19 солнечных лет проходит только 228 лунных месяцев, т.е., для того чтобы окончание цикла чжан совпадало с днем зимнего солнцестояния, необходимо было каким-то образом уровнять 19 солнечных лет и 235 лунных месяцев. Семь «лишних» месяцев астрономы решили разделить между годами так, чтобы 7 из них состояли не из 12, а из 13 месяцев. Было решено дополнять второй, пятый, седьмой, десятый, тринадцатый, пятнадцатый и восемнадцатый года в 19-летнем цикле. При этом дополнительный месяц ставился не в конце года, а в середине. Теперь, хотя начало Нового года и наступало чуть позже зимнего солнцестояния, каждые 19 лет два этих события совпадали, как и было задумано на заре создания календаря в Китае.

Со временем китайские астрономы достигли огромных успехов в науке об измерении времени. Именно в Китае возникли первые обсерватории, был составлен первый вращающийся небесный глобус, нарисована наиболее полная для того времени карта звездного неба, включающая в себя даже те звезды, которые вспыхивали лишь время от времени. Стало возможно не только предсказывать солнечные затмения, но и были сделаны попытки объяснить данное явление с научной точки зрения; именно китайские астрономы открыли пятна на Солнце, тогда как в Европе это открытие было сделано лишь в 1610 г. Галилео Галилеем. Кроме того, Китай был единственным государством, где еще в древности календарь стал доступен даже неграмотным людям. Специально для них были добавлены два межсезонья к уже существующим четырем сезонам (зима, весна, лето, осень), более подробная градация года позволяла земледельцам более точно определять сроки сева, жатвы и других не менее важных сельскохозяйственных работ.

Модель небесной сферы «Тян хэн». Прибор состоял из часов, небесного глобуса и армиллярной сферы, с помощью которой определялись координты Солнца, Луны, пяти планет и звезд

Начало каждого месяца в Китае совпадало с новолунием, сезон же длился около 15—16 дней и не был определен лунными фазами. Каждый год 23 декабря начинался сезон дунчжи (зимнее солнцестояние), и любой крестьянин знал, что через 81 день наступит весна, и можно будет пахать землю. Однако параллельно с этой системой счета времени в Китае была и другая: каждый месяц делился на три десятидневки (или две десятидневки и одну девятидневку), вроде привычного нам деления на недели. Каждый из десяти дней обозначался своим иероглифом, которые назывались «небесными пнями». Каждый месяц так же обозначался определенным иероглифом из группы «земных ветвей». Такая сложная для нас система летоисчисления казалась китайцам очень удобной и объединялась в циклы, включавшие 60 лет и состоявшие в свою очередь из четырех циклов по 12 лет. Каждый год 12-летнего цикла назывался годом определенного животного — вот откуда появился знакомый нам китайский календарь, согласно которому и сейчас, встречая Новый год, мы называем его годом лошади, козы, обезьяны, петуха или другого животного.

Сложным был путь создания календаря. С одной стороны, древним людям казалось, что сами боги — небесные светила — говорят им, как определять время, а с другой — именно Луна и Солнце вводили их в заблуждение. Солнце подсказало деление времени на сутки, состоящие из дневной и ночной половины, Луна определила деление на месяцы; вот только лунный и солнечный года не совпадали по своей протяженности. Трудно было соединить две, на самом деле независимые друг от друга, шкалы измерения времени, но и это удалось древним жрецам-астрономам, учитывавшим в своих календарях расхождения между солнечным и лунным летоисчислениями. Кроме того, одной из важных особенностей календаря на Древнем Востоке было то, что им могли пользоваться и определять время только образованные люди, а зачастую исключительно жрецы-астрономы, располагавшие специальными картами и таблицами. А календарь был нужен и земледельцам, т.е. людям необразованным, для предсказания изменений погоды и разливов рек. Зачастую от правильности этих предсказаний зависела судьба будущего урожая и жизнь целого народа. Часы же, наоборот, были необходимы только жрецам, отправлявшим культы богов. Именно жрецы-астрономы Древнего Востока, которые изобрели первые календари, заложили основы современной астрономии и нашего календаря. Они разделили год на 12 месяцев по 30 или 31 дню, определили продолжительность недели, нарисовали достаточно подробную для того времени карту звездного неба, попытались определить траектории движения Солнца и Луны и многое другое. Но одновременно с этим, им мы обязаны и зарождением астрологии и нумерологии и всех связанных с ними суеверий.

Помимо исчисления времени серьезной предпосылкой развития математических знаний было изобретение денег. Около 2500 г. до н.э. в Египте и на территории Малой Азии при оплате товаров начали использовать различные металлы – золото, серебро и медь. Сначала они обращались в виде слитков, впоследствии их стали клеймить, удостоверяя качество металла, – затем появились монеты, значительно упростившие товарообмен.