Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной равна 0, т.е. Dc=0.
Доказательство:
2.
Постоянный
множитель можно выносить за знак
дисперсии, возведя его в квадрат, т.е.
Доказательство:
3. Дисперсия суммы независимых с.в. равна сумме их дисперсией, т.е. если Х и У независимы, то D(X+Y)=DX+DY.
Доказательство:
Если с.в. Х и У зависимы, то
.
4. Дисперсия с.в. не изменится, если к этой с.в. прибавить постоянную, т.е. D(X+c)=DX.
Доказательство:
5. Если с.в. Х и У независимы, то
.
4. Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия DX имеет размерность квадрата с.в. Х, что в сравнительных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с.в., используют ещё одну числовую характеристику – среднее квадратическое отклонение (сокращенно: с.к.о.).
Средним
квадратическим отклонением
или стандартным
отклонением
с.в.Х называется квадратный корень из
её дисперсии, обозначают через
.
Т.о., по определению
.
Из свойств дисперсии вытекают соответствующие свойства с.к.о.:
Пример 1: Д.с.в. Х задана рядом распределения
-
Х
-1
0
1
2
р
0,2
0,1
0,3
0,4
Найти
МХ, DX,
.
Пример 2: Н.с.в. задана функцией распределения
Найти
МХ, DX,
.