лекция 3.5

Числовые характеристики случайных величин

1. Роль числовых характеристик случайных величин

Мы познакомились с рядом полных, исчерпывающих характеристик случайных величин – так называемых законов распределения. Такими характеристиками были:

• для дискретной случайной величины

а) функция распределения;

б) ряд распределения;

в) многоугольник распределения;

• для непрерывной случайной величины

а) функция распределения;

б) плотность распределения;

в) кривая распределения.

Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает с.в. с вероятностной точки зрения.

Однако во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать с.в. полностью, исчерпывающим образом. Зачастую достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения с.в.: например, какое-то среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего, и т.д. Пользуясь такими характеристиками, мы хотим все существенные сведения относительно с.в., которыми мы располагаем, выразить наиболее компактно с помощью минимального числа числовых параметров. Такие характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

2. Математическое ожидание случайной величины

Рассмотрим числовую характеристику случайной величины, характеризующую положение случайной величины на числовой оси, т.е. некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения с.в.

Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности.

Пусть с.в. Х может принимать только значения , вероятности которых соответственно равны . Тогда математическое ожидание случайной величины Х, обозначаемое МХ (или M[X], M(X), ), определяется равенством

.

Если д.с.в. Х принимает бесконечное, но счетное число возможных значений, то , причем ряд в правой части предполагается сходящимся. В противном случае с.в. Х не имеет математического ожидания (м.о.).

Пример 1: Найти м.о. с.в. Х, зная закон её распределения:

Х	3	5	2
Р	0,1	0,6	0,3

Пример 2: Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р.

Вывод:

Рассмотрим вероятностный смысл м.о. Пусть произведено n испытаний, в которых с.в. Х приняла раз значение , раз значение раз значение , причем . Тогда сумма всех значений, принятых Х, равна . Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых с.в., для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний:

.

Заметив, что отношение - относительная частота , то запишем соотношение так: . (*)

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события: . Заменив в соотношении (*) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим . Правая часть этого приближенного равенства есть МХ. Итак, =МХ.

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Замечание: Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения ТВ, когда область её применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, или, иными словами, м.о. выигрыша.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x), называется число .

Интеграл в правой части равенства предполагается абсолютно сходящимся, т.е. (в противном случае н.с.в. не имеет м.о.).

Формула является интегральным аналогом формулы м.о. для д.с.в.

Действия над случайными величинами

Суммой (произведением) с.в.Х, принимающей значения с вероятностями и с.в.У, принимающей значения с вероятностями называется с.в. Х+У (ХУ), принимающая все значения вида с вероятностями .

Произведением с.в.Х на число с называется с.в. сХ, принимающая значения с вероятностями .

Квадратом (m-й степенью) с.в.Х называется с.в. , принимающая значения с вероятностями .

Дискретные с.в. Х и У называются независимыми, если независимы события .