Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной, т.е. Мс=с.

Доказательство: Постоянную с можно рассматривать как д.с.в. Х, принимающую лишь одно значение с вероятностью 1. Поэтому .

2. Постоянный множитель выносится за знак м.о., т.е.

М(сХ)=сМХ.

Доказательство: Т.к. д.с.в. сХ принимает значения с вероятностями , то .

3. М.о. суммы с.в. равно сумме их м.о., т.е. М(Х+У)=МХ+МУ.

Доказательство: Т.к. д.с.в. Х+У принимает значения с вероятностями , то

При доказательстве воспользовались, в частности, тем, что . Например, докажем, что . Событие, состоящее в том, что Х примет значение (вероятность этого события равна ), влечет за собой событие, которое состоит в том, что Х+У примет значение (вероятность этого события по теореме сложения равна ), и обратно. Отсюда следует, что . Аналогично доказываются равенства .

Свойство 3 распространяется на произвольное конечное число слагаемых.

Рассмотрим в качестве новой случайной величины следующую. Разность между случайной величиной Х и её математическим ожиданием МХ, т.е. Х-МХ, называется отклонением с.в. Х от её математического ожидания.

4. М.о. отклонения с.в. от её м.о. равно 0, т.е. М(Х-МХ)=0.

Доказательство: Согласно свойствам 1 и 3, имеем:

М(Х-МХ)=МХ-М(МХ)=МХ-МХ=0.

5. М.о. произведения независимых с.в. равно произведению их м.о., т.е. если Х и У независимы, то М(ХУ)=МХ МУ.

Доказательство: Т.к. с.в. Х и У независимы, то .Следовательно, .

Свойства м.о., доказанные для д.с.в., остаются справедливы и для непрерывных с.в.

Пример : Независимые с.в. Х и У заданы следующими

законами распределения:

Х	5	2	4		У	7	9
р	0,6	0,1	0,3		р	0,8	0,2

Найти математические ожидания каждой из данных величин, а также с.в.

ХУ, Х+У, 5Х+7.

3. Дисперсия

Легко указать такие с.в., которые имеют одинаковые м.о., но различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные с.в. Х и У, заданные следующими законами распределения:

Х	-0,01	0,01		У	-100	100
р	0,5	0,5		р	0,5	0,5

Найдем математические ожидания этих величин:

МХ=-0,010,5+0,010,5=0, МУ=-1000,5+1000,5=0.

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а У – далекие от своего математического ожидания. Т.о., зная лишь м.о. случайной величины, ещё нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг м.о. Другими словами, м.о. полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с м.о. вводят и другие характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения с.в. вокруг её м.о., пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений с.в. вокруг её среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

Дисперсией (рассеянием) с.в. Х называется математическое ожидание квадрата её отклонения от своего математического ожидания.

Обозначается дисперсия DX (или D[X], D(X), D .

Т.о., по определению (1).

Дисперсия характеризует разброс значений с.в. Х относительно её математического ожидания.

Из определения дисперсии следуют формулы для её вычисления: (2) - для д.с.в. Х,

(3) - для н.с.в, где f(x) – плотность.

На практике дисперсию с.в. удобно находить по формуле

.

Она получается из формулы (1):

Это позволяет записать формулы для её вычисления (2) и (3) в другом виде:

.

Пример: Найти дисперсию с.в. Х, которая задана следующим законом распределения:

Х	2	3	5
р	0,1	0,6	0,3