. несобственные интегралы 1-го рода

Определение 1. Пусть функция f(x) определена для всех и интегрируема на любом отрезке [a, b]. Если существует , то этот предел называется несобственным интегралом 1-го рода от функции f (x) на [a,+∞) и обозначается . В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f(x) интегрируема в несобственном смысле на [a, +∞). Если же не существует, то говорят, что расходится, а функция f(x) неинтегрируема в несобственном смысле на [a, +∞).

Замечание 1. Расходимость может означать как наличие бесконечного предела, так и отсутствие какого–либо предела.

Пример 1. Пусть при . Тогда , где b > 1 и . Таким образом расходится. Пример 2. Пусть для . Очевидно, интеграл . Здесь не существует, что доказывается через предел по Гейне, беря b_n=2πn и . Тогда

cos b_n – 1= 0 и cos b_n⁽²⁾- 1 = -2 и имеем два разных частичных предела .Значит не существует и расходится.

Замечание 2. Отметим, что аналогично можно определить несобственный интеграл для f(x) определенный на (-∞, a] как предел . Если же f(x) определена на (-∞, +∞) и интегрируема на любой конечной части [c, d], то несобственный интеграл на (-∞, +∞) определяется как , где а – некоторое число, и существует (сходится), если сходятся оба интеграла. Расходимость интегралов и определяются так же как и для .

. Далее для удобства + ∞ обозначим ∞. Свойства интеграла:

1. Линейность. Если , сходятся, то для всех α, β сходится интеграл .

2. Замена переменной. Пусть f(x) определена и непрерывна на [a, ∞), а g(t) определена и непрерывно дифференцируема на [α, β) и . Тогда существуют (или расходятся) одновременно и (в случае их сходимости).

3. Интегрирование по частям. Если f(x) и g(x) определены и непрерывно дифференцируемы на [a, ∞) и существует , то J= ,если сходится, и J не существует, если расходится . Здесь подстановка .

4. Формула Ньютона–Лейбница. Пусть f(x) определена и непрерывна на [a, ∞) , а F(x) её первообразная на [a, ∞). Тогда интеграл , где и интеграл существует, если существует .

5. Интеграл при неравенстве функций. Пусть на [a, ∞), где f(x) и g(x) определены при . Тогда при условии сходимости . Очевидно, если , то .

. Пример 3. Линейность. Вычислить .Решение. Здесь , а . По формуле Ньютона–Лейбница, получаем и ,а по линейности интеграла .

Пример 4. Замена переменной. Вычислить . Решение.

Положим здесь . Тогда , а α = 4, β = ∞. Следовательно, .

Пример 5. Интегрирование по частям. Вычислить . Решение. Возьмем f(x)=x, а . Тогда и существует

. Интегрируя по частям, имеем .

Пример 6. Вычислить . Решение. Введем замену x² = t или . Тогда α = 4, а β = ∞ (см. замену переменной). В этом случае , а c, где c . Но интеграл берется по частям (см. пример 5). Очевидно, имеем

.

Пример 7. На неравенства интегралов. Доказать неравенство . Решение. Для имеем и интеграл при x² = t будет равен . Отсюда по свойству 5 получаем требуемое неравенство. Здесь нижнюю оценку можно уточнить. Действительно, для и x+1>x. Тогда и по свойству 5 верно . Но интеграл при замене x² = t будет или, вводя замену и , получаем . Отсюда и верна уточненная оценка . Замечание 3. = при замене x = -t.

2. Геометрические и механические приложения несобственного интеграла 1-го рода

1.Площадь. Пусть f(x) определена и непрерывна на [a, ∞). Тогда площадь фигуры, ограниченной осью OX , равна и существует, если интеграл сходится. Для имеем .

Пример 8. Пусть функция для . Тогда площадь . Здесь, очевидно, f(x) > 0.

Пример 9. Пусть . Тогда при площадь . Очевидно при и при . Поэтому , так как |f(x)| = -f(x) при . Поскольку верно , то и первообразная и , а интеграл , так как . Отсюда площадь .

Если непрерывные , то .

Пример 10. Пусть фигура образована и при . Тогда .

2. Обьем тела. Пусть график функции y = f(x) вращается вокруг оси ОХ. Тогда объем при и непрерывной f(x) вычисляется по формуле . если же график f(x) вращается вокруг оси OY при непрерывно дифференцируемой f(x), то объем .

Пример 11. Найти объем тела для при при вращении f(x) вокруг оси ОХ. Решение. Очевидно, .

Замечание 4. Формула площади и обьема через несобственный интеграл 1-го рода целесообразна, если фигура или тело конечные, но достаточно большые, ибо погрешность остатка ( при его отбрасывании) мала.

Пример 12. Найти объем тела вращения вокруг оси OY для при . Решение. Здесь . Так как , то объем .

Если f₁(x) и f₂(x) непрерывны на [a, ∞) и , то объем тела вращения вокруг ОХ равен .

Пример 13. Пусть и для . Тогда, очевидно, и объем тела вращения вокруг оси ОХ будет .

3.Масса. Пусть плоская фигура Ф задана неравенствами при , где f₁(x) и f₂(x) – непрерывные функции, а - поверхностная плотность фигуры. Тогда ее масса , а центры масс , и моменты , .

Пример 14. Вычислить массу тела и координаты центра масс фигуры с поверхностной плотностью и , при .

Решение. Так как f₁(x), f₂(x) непрерывна и f₁(x) f₂(x), то масса .

Статический момент . Статический же момент . Отсюда центры масс , .

Замечание 5. Аналогично вычислению массы, центра масс для неограниченной (по оси ОХ) фигуры можно вычислять моменты инерции Ix, Iy относительно осей ОХ и OY по формуле для [a, b], но при b = ∞.

3. Признаки сходимости интеграла 1-го рода для положительных функций

Пусть функции f(x), g(x) 0 на [a, ∞) и интегрируемы на любом конечном отрезке [a, b]. Тогда верны признаки сходимости.

Теорема 1 (мажорантность). Если на [a, ∞) будет , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Теорема 2. Если g(x)>0 на [a, ∞) и существует , где , то оба интеграла и сходятся или расходятся одновременно. В случае же k = 0 из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость . Этот признак называют еще предельным. Отметим, что случай в О - символике обозначается как f(x) = О^* (g(x) ) .

Следствие 1. Если положительные f(x) и g(x) эквивалентные бесконечно малые при , то и сходятся или расходятся одновременно ( ибо в этом случае k = 1 ) .

При решении примеров надо подобрать функцию сравнения. Часто за такую функцию берут , где α – любое число при x > 0.

Пример 15. Исследовать на сходимость , где a > 0 и α – любое число. Решение. а) Пусть . Тогда . Очевидно, интеграл сходится при α > 1 и расходится при α < 1.

б) Пусть α = 1. Тогда интеграл и расходится.

Итак, - сходится при α > 1 и расходится при .

Пример 16. Мажорантный признак. Исследовать на сходимость. Решение. На [1, ∞) верна оценка . Но сходится, так как здесь α = 2 > 1 (см. пример 15). Тогда по теореме 1 сходится и исследуемый интеграл.

Пример 17. Мажорантный признак. Исследовать на сходимость. Решение. Здесь . Так как при достаточно больших х имеем lnx x^ε, где число ε 0 - любое, то при ε = 1 получаем 9x +lnx 9x +x. Отсюда (9x +lnx)^-1/2 (10x)^-1/2 . Но расходится. Тогда по мажорантному признаку исходный интеграл расходится. Пример 18. Предельный признак. Исследовать на сходимость . Решение. Здесь и за функцию сравнения, так как lnx возрастает медленнее чем x⁴, целесообразно взять . Имеем . Но сходится, так как здесь . Тогда по предельному признаку с получаем сходимость исследуемого интеграла.

Пример 19. Эквивалентность. Исследовать на сходимость .Решение. Так как при и сходится, ибо здесь α = 3 , а k = 1 , то имеем эквивалентность и исходныйй интеграл тоже сходится по следствию 1.

Пример 20. Эквивалентность. Исследовать на сходимость. Решение. Так как при и расходится, то исследуемый интеграл расходится по следствию 1 ибо k = 1 .

Пример 21. Исследовать на сходимость, где α, β – действительные числа. Решение. Имеем неравенство: ln ^q x x^ε при x → ∞ и любых числах q,ε 0. Пусть: 1) параметр α > 1 и β .Тогда ln ^βx при x . Отсюда . Но интеграл сходится. Поэтому по мажорантному признаку исходный интеграл тоже сходится. Если же β 0, то имеем = , где число ε 0 – любое и α - ε 1. Но сходится . Тогда по мажорантному признаку сходится и .Итак, исходный интеграл сходится при α 1 и всех числах β . Пусть теперь: 2) параметр α = 1. Сделаем замену t = lnx.Отсюда и сходится при β > 1 , но расходится при . Рассмотрим случай: 3) параметр α < 1. Пусть β . Так как имеем ln ^βx x^ε при x → ∞, то , где ε 0 - любое и α + ε 1. Но расходится . Тогда по мажорантному признаку расходится и исходный интеграл. Если же β 0, то = = . Интеграл же расходится, ибо α < 1 . Тогда по мажорантному признаку расходится и интеграл. .Таким образом, исходный интеграл сходится при α > 1 и всех β , а при α = 1 для β > 1. Для α < 1 и любых β интеграл расходится.