ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»

Факультет вычислительной математики и кибернетики

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОСОБИЯ

по курсу "Математические основы информатики"

для студентов факультета ВМК

специальность "Прикладная информатика"

Часть 2

Нижний Новгород - 2007 год

Методические пособия по курсу "Математические основы информатики", часть 2, для студентов факультета ВМК, специальность "Прикладная информатика" / Нижег.гос.ун-т, 2007, с.77

В методических пособиях излагается материал по курсу лекций "Математические основы информатики", читаемых автором в третьем семестре дневного отделения факультета ВМК. Пособия содержат материалы курса, связанные с экстремальными задачами переборного типа.

Методические пособия подготовлены д.т.н., профессором М.Х.Прилуцким.

Содержание

1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА "МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ" 8

"Прикладная информатика" 8

Предисловие 8

Лекции 8

Практические занятия 9

Литература (основная) 9

Литература (дополнительная) 9

2. КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ 10

2.1.Задачи целочисленного булева программирования 11

2.2. Каноническая и многомерная задачи о ранце и их интерпретации 11

2.3. Задача коммивояжера и ее интерпретации 12

2.4. Задачи о назначениях и их интерпретации 14

2.5. Задача целочисленного линейного программирования в общей постановке 16

2.6. Метод ветвей и границ 16

2.7. Общая схема метода ветвей и границ Джеффриона-Марстена 17

2.8. Решение канонической задачи о ранце методом ветвей и границ 18

Теорема Данцига. 18

2.9. Решение многомерной задачи о ранце методом ветвей и границ 19

2.10. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ 20

2.11. Решение задачи целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ 21

2.12. Решение задачи о ранце с использованием табличной схемы 22

Рассмотрим задачу о ранце 22

2.13. Решение задачи о ранце с использованием рекуррентных соотношений динамического программирования 23

Рассмотрим задачу о ранце 23

2.14. Решение задачи коммивояжера с использованием рекуррентных соотношений динамического программирования 24

2.15. Задачи теории расписаний 24

2.16. Задачи теории расписаний с одним обслуживающим прибором 25

Ограничения математической модели. 25

2.17. Перестановочный прием в задачах теории расписаний 26

2.18. Теорема Лившица-Кладова 27

2.19. Задачи теории расписаний в общей постановке 27

2.20. Задача Джонсона. Графики Ганта 28

A(1)}. 29

Пусть r и q две перестановки 29

2.21.Постановка задачи теории расписаний как задачи частично-целочисленного линейного программирования 29

2.22. Сетевые модели. Расчет временных характеристик сетевых моделей 31

2.23. Потоки в сетях. Теорема Форда-Фалкерсона о максимальном потоке 32

Внутри промежуточных пунктов груз не перевозится. 32

Постановка оптимизационной задачи. 33

В качестве критерия оптимальности выберем функционал 33

Лемма. 33

Рассмотрим величину 34

2.24. Алгоритм Форда-Фалкерсона нахождения максимального потока в транспортной сети 34

2.25. Решение задачи о назначениях алгоритмом Куна 35

2.26. Минимаксные задачи о назначениях 37

2.27. Задачи о назначениях с индивидуальными предпочтениями 38

3. ЗАДАЧНИК С РЕШЕНИЕМ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 39

3.1. Решение задачи о ранце 39

3.1.1. Решение задачи о ранце методом ветвей и границ 39

V= [5+7+6*4/5] = 16. 39

H=5+7=12. 39

V=[7+6+3*1/7]=13. 40

H=7+6=13. 40

Значение оптимума для исходной задачи о ранце равно 41

3.1.2. Решение задачи о ранце методом динамического программирования (табличная форма) 41

3.1.3. Решение задачи о ранце методом динамического программирования (рекуррентная схема) 42

W({1,2,3},2)=5(1). 42

Задача 1.1. 43

Задача 1. 2. 43

Задача 1.3. 43

Задача 1.4. 43

4x(1)+5x(2)+7x(3)+7x(4)11 43

Задача 1.5. 43

Задача 1.6. 43

Задача 1.7. 43

Задача 1.8. 43

Задача 1.9. 44

Задача 1.10. 44

3.2. Решение задачи коммивояжера 44

3.2.1. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ 44

3.2.2. Решение задачи коммивояжера с использованием рекуррентных соотношений динамического программирования 45

Задача 2.1. 46

Задача 2.2. 47

Задача 2.3. 47

Задача 2.4. 47

Задача 2.5. 47

Задача 2.6. 47

Задача 2.7. 48

Задача 2.8. 48

Задача 2.9. 48

Задача 2.10. 48

3.3. Решить задачу Джонсона для двух станков, построить график Ганта для оптимального расписания 49

Длина оптимального расписания F(r)=22. 49

Задача 3.1. 49

Задача 3.2. 50

Задача 3.3. 50

Задача 3.4. 50

Задача 3.5. 50

Задача 3.6. 51

Задача 3.7. 51

Задача 3.8. 51

Задача 3.9. 51

Задача 3.10. 52

3.4. Решение задачи о назначениях алгоритмом Куна 52

Решить задачи о назначениях алгоритмом Куна. 55

Задача 4.1. 55

Задача 4.2. 55

Задача 4.3. 56

Задача 4.4. 56

Задача 4.5. 56

Задача 4.6. 56

Задача 4.7. 56

Задача 4.8. 56

Задача 4.9. 57

Задача 4.10. 57

3.5. Решение минимаксных (максиминных) задач о назначениях 57

Задача 5.1. 59

Задача 5.2. 59

Задача 5.3. 59

Задача 5.4. 59

Задача 5.5. 59

Задача 5.6. 60

Задача 5.7. 60

Задача 5.8. 60

Задача 5.9. 60

Задача 5.10. 60

3.6. Решить задачи о назначениях с индивидуальными предпочтениями 61

J(1) - R(3), J(2) - R(4), J(3) - R(2), J(4) - R(1). 62

J(1) - R(3), J(2) - R(4), J(3) - R(2), J(4) - R(1). 62

J(1) - R(1), J(2) - R(4), J(3) - R(3), J(4) - R(2). 62

J(1) - R(3), J(2) - R(4), J(3) - R(2), J(4) - R(2). 62

J(1) - R(3), J(2) - R(4), J(4) - R(2), J(3) - R(1). 63

Матрица предпочтений. 63

Матрица предпочтений. 64

Матрица предпочтений. 64

Матрица предпочтений. 65

Матрица предпочтений. 65

Матрица предпочтений. 65

Матрица предпочтений. 66

Матрица предпочтений. 66

Матрица предпочтений. 67

Матрица предпочтений. 67

3.7. Нахождение максимального потока в транспортной сети алгоритмом Форда-Фалкерсона 67

Величина максимального потока равна 70

Найти максимальный поток в транспортной сети. 70

Задача 7.1. 70

Задача 7.2. 70

Задача 7.3. 71

Задача 7.4. 71

Задача 7.5. 71

Задача 7.6. 72

Задача 7.7. 72

Задача 7.8. 72

Задача 7.9. 73

Задача 7.10. 73

3.8. Расчет временных характеристик сетевых моделей 73

Рассчитать временные характеристики сетевой модели 75

Задача 8.1. 75

Задача 8.2. 75

Задача 8.3. 75

Задача 8.4. 76

Задача 8.5. 76

Задача 8.6. 76

Задача 8.7. 76

Задача 8.8. 77

Задача 8.9. 77

Задача 8.10. 77

4. Контрольные задания 78

5. Вопросы к экзамену 79