7. Теоремы

Обозначим и следующие условия:

(( 01 )) Необходимые условия возрастания функции

(( 02 )) Необходимые условия убывания функции

(( 03 )) Достаточные условия возрастания функции

(( 04 )) Достаточные условия убывания функции

(( 05 )) Необходимые условия вогнутости плоской кривой

(( 06 )) Необходимые условия выпуклости плоской кривой

(( 07 )) Достаточные условия вогнутости плоской кривой

(( 08 )) Достаточные условия выпуклости плоской кривой

(( 09 )) Необходимые условия существования точки max

(( 10 )) Необходимые условия существования точки min

((11)) Достаточные условия существования точки max с использованием

((12)) Достаточные условия существования точки max с использованием

((13)) Достаточные условия существования точки max с использованием

((14)) Достаточные условия существования точки min с использованием

(( 15 )) Необходимые условия существования точки перегиба

(( 16 )) Достаточные условия существования точки перегиба

(( 17 )) Необходимые и достаточные условия существования наклонных асимптот

Для того, чтобы прямая лини, заданная уравнением , была наклонной асимптотой плоской кривой L, необходимо и достаточно выполнение хотя бы одного из двух условий:

8. Выводы

8.1. Экстремумы следует искать только в тех точках, в которых либо равна нулю,

либо не существует ( точки, подозрительные на экстремум).

8.2. Перегибы следует искать только в тех точках, в которых либо равна нулю,

либо не существует ( точки, подозрительные на перегиб ).

8.3. Вертикальные асимптоты следуе6т искать только в точках разрыва и на концах

промежутка, в котором задана данная функция.

9. Теорема Ролля

Пусть функция обладает условиями , причём ,

тогда внутри промежутка (а;b) найдется хотя бы одна такая , в которой

10. Теорема Лагранжа

Пусть функция обладает условиями , тогда внутри промежутка (а;b) найдется хотя

бы одна такая , в которой выполняется равенство:

Примечание: Если , то формула принимает вид:

, где .

11. Правило Лопиталя

Пусть функции и обладают условиями и пусть также внутри промежутка (а;b)

существует такая , в которой , тогда справедливо равенство:

.