30. Сформулювати центральну граничну теорему у формі Леві-Ліндеберга в усіх видах. Довести інтегральну теорему Мавра-Лапласа як окремий випадок попередньої теореми.

Центральна гранична теорема формулюється умовами при виконанні яких сума достатньо великого числа випадкових величин буде мати наближено нормальний закон розподілу Теорема Леві-Ліндеберга. Нехай Хі незалежні однаково розподілені, з математичним сподіванням відповідно та Dв. Розглянемо іншу випадкову величину Yn= Xi-n*m)/( )

M[Yn]=M[( *Xi-n*m)/ ( )]=0 D[Yn]=D[( *Xi-n*m)/ ( )]=(1/n* )* D[ *Xi]= (1/n* )*n =1 Нехай Fn(y) -інтегральна функція розподілу цієї випадкової величини Твердження Fn(y) ->1/2+Ф(у); n-> Інтегральна теорема Муаврв-Лапласа

Нехай Хі- попарно незалежні випадкові величини, які можуть приймати 2 значення. Нехай проводиться n- повторних незалежних випробувань за схемою Бернуллі.

M[Xi]=0*q +1*p=p D[Xi]=M[Xi] - p =0*q+1*p- p =p(1-p)=p*q

31.Дати означення системі випадкових величин. Навести приклади. Дати означення закону розподілу дискретної двовимірної випадкової величини. Навести приклади.

Двовимірною наз., випадкову виличину (Х,У), можливі значення якої є пари чисел (х,у). Складові Х,У образують систему двох випадкових величин. Двовимірну величину геометрично можна пояснити як випадкову точку М(Х,У) на площині хОу або як випадковий вектор ОМ. Дискретна наз., двовимірна величина складові якої дискретні. Неперервной наз., двовимірна величина складові якої неперервні. Закон розподілу імовірностей двовимірної випадкової величини наз., відповідність між можливі значення і їх імовірностями . Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини наз., перечень можливих значень величини , тобто пара чисел (x_i , y_i) та їх імовірності p(x_{i ,}y_i)

(i=1,2 …., n; j=1,2…,m). Частіше всього закон розподілу задають у вигляді таблиці з подвійним входом. Перша строка таблиці містить всі можливі значення складової Х, а перший стовпець містить всі можливі значення складової Y. У клітинці вказана імовірність p(x_i,y_i) того,т що двовимірна випадкова величина прийме значення (x_i,y_i). Так як ці події (Х=х_i , Y=y_i ) (i=1,2…, n; j=1,2…,m) утворюють повну групу, то сума імовірностей, розташованих во всіх клітинках таблиці = 1.ПРИКЛАД :Нехай станок штампує сталеві плитки , контрольними розмірами яких є довжина (Х) і ширина (У), тоді система цих параметрів утворює двовимірну випадкову величину.Якщо є і параметр висоти , то система утворює трьовимірну випадкову величину.

32 Дати означення ф-ціїї розподілу двв. Основні властивості ф-ції розподілу, її геометричний зміст.

Ф-цією розпділу двв (Х,У) називають ф-цію 2-х змінних F(х,у), яка визначає для кожної пари чисел (Х,У) імовірність виконання нерівностей X<x; Y<y, тобто F(x,y)=P(X<x; Y<y).

Аналогічно визначають ф-цію розподілу n вв: F(х1,х2,…,xn)= P(X<x; Y<y,…, Xn<xn)

Властивості: 0≤ F(x,y)≤1; F(х,у)не спаднка ф-ція за кожним аргументом, тобто F(x2,y)≥ F(x1,y), якщо x2> x1; F(x,y2) >F(x,y1), якщо у2> у1; Мають місце граничні співвідношення: F(-∞ ,y)=0; F(x1,∞-)=0; F(∞,∞)=1; Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x1 ≤Х ≤х2; у1 ≤У≤ у2}можна знайти за формулою: Р(x1 <Х <х2; у1 <У< у2)= {F(х2,у2)- F(х1,у2)}- {F(х2,у1)- F(х1,у1)} Геометричний зміст ф-ї розподілу F(х,у) – це імовірність того, що випадкова точка М(Х,У), попаде у нескінченний прямокутник з вершиною в т.(Х,У) і розміщений нижче та лівіше цієї вершини М(Х,У)