- •1.Що є предметом теорії імовірності?
- •2.Дати означення підмножини скінченної (нескінченної), зліченої і незліченої. Навести приклад.
- •3. Дати означення об’єднаня суми, різниці та добутку множин. Навести приклади.
- •4.Дати означення сполучення та розміщення. Записати формулу для обчислення числа ціх сполук. Навести приклади
- •5. Записати формулу, що пов’язує число переставлень, сполучень та розміщень. Сформулювати правила суми та добутку. Навести приклади.
- •7. Дати означення сумісних, несумісних та попарно несумісних подій. Навести приклади.
- •8. Дати означення суми (об’єднання), різниці та добутку (перетину) подій, протилежної події, повної групи подій. Навести приклади.
- •9. Як випадкова подія виражається через елементарні наслідки випадкового експерименту? Які елементарні наслідки називаються такими, що сприяють появі даної події? Навести приклади.
- •10. Сформулювати класичне визначення імовірності події і записати відповідну формулу. Навести приклади.
- •11.(Геометричне визначення).
- •12. Дати означення частоти та відносної частоти події.
- •13. Сформулювати теореми: а) про імовірність суми двох подій; б) про імовірність суми двох несумісних подій; в) про імовірність суми декількох попарно несумісних подій. Навести приклади.
- •14. Дати означення незалежності і залежності двох подій, умовної імовірності події, попарної незалежності декількох подій, незалежності у сукупності декількох подій. Навести приклади.
- •15. Записати формулу для обчислення імовірності хочаб однієї з декількох подій, незалежних у сукуупності.Пояснити букви, навести приклади.
- •16. Записати формули: а) повної імовірності; б) Байеса. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.
- •17. Навести умови схеми випробувань Бернулі. Записати формулу Бернулі.Навести приклади застосування.
- •18. Граничні теореми у схемі випробувань Бернулі. А)Пуассона. Б) Локальну та інтегральну Лапласа.
- •19.Записати формули для обчислення в схемі бернулі: а)імовірності відхилення частоти від імовірності б)найбільш імовірного числа появи подій
- •20. Дати означення випадкової величини (в.В.), дискретної (д.В.В.) та неперервної випадкої величини (н.В.В.). Навести приклади.
- •21. Дати означення закону та багатокутника розподілу ймовірностей д.В.В. Навести приклади.
- •22. Дати означення інтегральної та диференціальної функції розподілу н.В.В. Вказати їх основні властивості. Навести приклади.
- •24. Пояснити, що характеризують: а) математичне сподівання; б) дисперсія та середнє квадратичне відхилення; в) асиметрія; г) ексцес; д) мода; е) медіана.
- •25. Довести основні властивості математичного сподівання і дисперсії.
- •26. Записати основні закони розподілу д.В.В.: а) біноміальний ; б)Пуассона; в)геометричний. Пояснити зміст букв. Навести приклади д.В.В., розподілених за цими законами.
- •27. Записати основні закони розподілу н.В.В.: а) рівномірний; б) нормальний; в) показниковий. Пояснити зміст букв. Навести приклади н.В.В., розподілених за цими законами.
- •28. Пояснити зміст терміну «закон великих чисел». Довести нерівність Чебишова в усіх формах. Навести приклади її застосування.
- •29 Сформулювати основні теореми закону великих чисел: а) Бернуллі; б) Чебишова; Пояснити значення цих теорем для практики.
- •30. Сформулювати центральну граничну теорему у формі Леві-Ліндеберга в усіх видах. Довести інтегральну теорему Мавра-Лапласа як окремий випадок попередньої теореми.
- •31.Дати означення системі випадкових величин. Навести приклади. Дати означення закону розподілу дискретної двовимірної випадкової величини. Навести приклади.
- •32 Дати означення ф-ціїї розподілу двв. Основні властивості ф-ції розподілу, її геометричний зміст.
- •33 Дати означеня щільностей ймовірностей двв. Основні властивості, імовірнісний зміст.
- •34 Записати ф-ли для обчислення ймовірностей попадання випадкової точки в довільну двомірну область d; в прямокутник.
- •35 Означення залежності (незалежності) випадкових величин, що входять в с-му вв. Теореми про необхідну та достатню умови незалежності.
- •39. Навести основні властивості кореляційного моменту μxy та коефіцієнту кореляції rxy
- •40. Дати означення корельованості (некорельованості) двох в.В. Пояснити різнцю і зв’язок між корельованістю (некорельованістю) і залежністю двох в.В.
- •41 Вивести рівняння лінійної середньоквадратичної регресії y на х(х на y). Пояснити зміст позначень.Дати означення коефіцієнту регресії , залишкової дисперсії та пояснити, що вони характеризують.
- •42. Сформулювати теорему про корельованість складових нормально розподіленої двовимірної в.В.
- •47 Дати означення а) генеральної та вибіркової сукупності б) обсягу вибірки в) повторної, безповоротної та репрезентативної вибірок
- •48 Дати означення естатистичної (емпіричної) функції розподілу та сформулювати її основні властивості
- •49 Дати означення кумулятивних частоти та відносної частоти
- •50 Дати означення полігону та гістограми
- •51 Дати означення точкової статистичної оцінки параметру розподілу генеральної сукупності
- •54 Дати означення вибіркових: а)моди і медіани; б) початкового та центрального моментів; в) коефіцієнтів асиметрії та ексцесу. Навести приклади знаходження (обчислення).
- •55 Дати означення: а) інтервальної оцінки параметра генеральної сукупності, її точності та надійності; б) надійного інтервалу. Навести приклади.
- •58 Записати формулу для обчислення кінців надійного інтервалу для оцінки середнього квадратичного відхилення нормальної розділеної генеральної сукупності
- •59 Дати означення емпіричної та теоретичної частот
- •60Дати озн функціональної, стохастичної, кореляційної залежності, умовного середнього, вибіркових рівняння та лінії регресії.
- •62 Записати формулу для обч вибіркової кореляції кінців надійного інтервалу для інтерн. Оцінки коеф кореляції нормально розподіленої ген сукупності
- •63 Дати означення статистичної гіпотези, нульової та альтернативної гіпотез
- •64 Дати означення рівня значущості та потужності статистичного критерію
- •65 Дати означення рівня значушості та потужності статистичного критерію
- •66 Навести приклади перевірки гіпотез про: рівність генеральних дисперсій двох нормально розподілених генеральних сукупностей
11.(Геометричне визначення).
Імовірність випадкової події А дорівнює відношенню міри g до міри G . Вона використовується у випадках, коли простір елементарних наслідків є незлічена множина : Додатне число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, наз. частотою. Відношення частоти варіанти до об’єму вибірки n наз. відносною частотою, причому, сума усіх відносних частот .
12. Дати означення частоти та відносної частоти події.
Додатне число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, наз. частотою. Відношення частоти варіанти до об’єму вибірки наз. відносною частотою, причому, сума усіх відносних частот .
13. Сформулювати теореми: а) про імовірність суми двох подій; б) про імовірність суми двох несумісних подій; в) про імовірність суми декількох попарно несумісних подій. Навести приклади.
Сумою A+B двох подій A і B називають подію, яка полягає в появі події А, або події В, або обох цих подій. Н.: якщо із рушниці зроблено два вистріли і А – попадання при першому вистрілі, В – попадання при другому вистрілі, то А+В – попадання при першому вистрілі, або при другому, або під час обох вистрілів. Теорема додавання імовірностей несумісних подій. Ймовірність появи однієї іх двох несумісних подій, без різниці якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
P(A+B)=P(A)+P(B)Наслідок. Імовірність появи однієї із декількох попарно несумісних подій, без різниці якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
P(A1+A2+…+An) = P(A1)+P(A2)+…+P(An)
14. Дати означення незалежності і залежності двох подій, умовної імовірності події, попарної незалежності декількох подій, незалежності у сукупності декількох подій. Навести приклади.
Подія B – незалежна від події А, якщо поява події А не змінює імовірності події В, тобто якщо умовна імовірність події В дорівнює його безумовної ймовірності: PA(B) = P(B). Так само PB(A) = P(A). Дві події наз-ся незалежними, якщо імовірність їх суміщення дорівнює добутку ймовірностей цих подій, в іншому разі події називають залежними. Декілька подій наз-ють попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні. Декілька подій називають незалежними в сукупності (або просто незалежними), якщо незалежні кожні дві із них і незалежна кожна подія і всі можливі добутки інших. Умовною імовірністю PA(B) називають імовірність події В, обчислену за умови, що подія А уже наступила.
15. Записати формулу для обчислення імовірності хочаб однієї з декількох подій, незалежних у сукуупності.Пояснити букви, навести приклади.
Приклад:кидання двох монет, поява орла чи решки внаслідок киданя однієї монети не залежить від результату кидання другої монети.Потрібно додати що якщо події незалежні то умовна імовірність події дорівнює її безумовнії імовірності.
16. Записати формули: а) повної імовірності; б) Байеса. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
P (A) = P(B1) PB1(A) + P(B2) PB2(A) +…+ P (Bn) PBn(A) Эту формулу называют «формулой полной вероятности». Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становиться известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. В – гипотезы, поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит. Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности PA(B1), PA(B2), …, PA(Bn):
PA(Bi)=P(Bi)PBi(A)/(P(B)PB1(A)+P(B2)PB2(A)+…+P(Bn)PBn(A))