Прямая линяя в пространстве.

Линия в пространстве определяется как пересечение двух поверхностей, то есть задается совокупностью двух уравнений:

.

Н

апример:

- окружность в плоскости z=

Прямую линию в пространстве можно представить как пересечение двух плоскостей, то есть совокупность двух уравнений плоскостей. Систему двух непараллельных уравнений называют общими уравнениями прямой:

.

Канонические уравнения прямой в пространстве.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой и обозначается: {m,n,p}.

Если известна точка М₀(x_0, y₀, z₀), прямой и направляющий вектор {m,n,p}, то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:

, (1)

которые называются каноническими уравнениями прямой.

Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки М₀(x₀, y₀, z₀), M₁ (x ₁ ,y₁, z₁) имеют вид:

. (2)

Обозначив буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях, мы получим

= t, отсюда . (3)

Уравнения (3) есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y_0, z₀), параллельно вектору {m,n,p}. В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр; x, y, z - как функции от t. При изменении t величины x, y, z меняются так, что точка М(x,y,z) движется по данной прямой.

Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.

Пусть прямая задана общими уравнениями:

, (1)

где ₁{A ₁,B₁,C₁}, ₂{A₂, B₂, C₂} – нормальные векторы заданных плоскостей .

Выберем на прямой определенную точку М₀(x₀, y₀, z₀). Для этого, например, z₀ зададим произвольно, а x₀ и y₀ получим из системы (1).

В качестве направляющего вектора возьмем вектор :

.

Следовательно, канонические уравнения прямой, соответствующие системе (1), имеют вид:

.

Угол между двумя прямыми.

За угол между двумя прямыми

, ,

принимается угол между их направляющими векторами.

Здесь ={m₁,n₁,p₁}, {m₂,n₂,p₂} – направляющие вектора данных прямых, cos= . Условие параллельности двух прямых: .

Условие перпендикулярности двух прямых: m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂=0.

Задачи на тему “Прямая в пространстве”.

1. Составить каноническое уравнение прямой L, проходящей через две заданные точки А(1 –2 1), В(3 1 -1).

2. На прямой L возьмем произвольным образом точку М(x y z) и соединим ее с какой-либо известной точкой на этой прямой, например, точкой А. Образуем текущий вектор {x-1 y+2 z-1}. Вектор {2 3 -2}, лежащий на прямой L, является направляющим вектором для L. Для любой точки М(x y z) L вектора II , следовательно, условие параллельности векторов описывает уравнение прямой L:

.

3. Составить уравнение прямой , проходящей через точку А(1 –1 2), параллельно прямой :

На прямой образуем текущий вектор {x-1 y+1 z-2}. Из канонического уравнения прямой находим направляющий вектор {5 –2 0}, здесь m=5, n=-2, p=0. Так как II , то II для любой точки М(x y z) . Используя теперь условие параллельности, получаем канонические уравнения прямой :

.

4. Известны уравнения двух прямых:

: , :

1. Проверить, являются ли и параллельными.

2. Проверить, являются ли и перпендикулярными.

3. Найти угол между и .

а) Из условия параллельности прямых имеем, II , если их направляющие вектора и параллельны. Координаты вектора легко получаются из заданных канонических уравнений прямой : {-1 3 1}. Для прямой , определяемой пересечением плоскостей, направляющий вектор находится как векторное произведение: = , где {1 –1 0}, {2 1 -5}. Вычисляем,

= =5 +5 +3 , {5 5 3}.

Так как координаты векторов и не пропорциональны, то условие параллельности для векторов и не выполняется, а значит, не параллельна .

b) Из условия перпендикулярности прямых, , если . Так как =13, то условие перпендикулярности векторов и не выполняется. Стало быть, не перпендикулярна к .

c) Угол между прямыми найдем по формуле:

cos =соs( , )= .

Отсюда, соs = .

5. Привести к каноническому виду уравнения прямой:

.

Найдем направляющий вектор прямой :

= =-8 -7 -5 , {-8 –7 -5}.

За точку М₀(x₀ y₀ z_o), через которую проходит искомая прямая, можно принять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью YOZ. Так как при этом x₀=0, то координаты y_0,z₀ определяются из заданного уравнения прямой, если в нем положить x=0:

.

Откуда находим z₀= , y₀= и M₀(0 ).

Итак, воспользовавшись теперь общей формулой канонических уравнений прямой, получаем:

.