Примеры векторных (линейных) пространств.

Пример 1. Пространство свободных трехмерных векторов В_3..

Пусть В₃ – множество всех векторов в пространстве рассматриваемых в аналитической геометрии. Сложение определяется известным правилом параллелограмма, а умножение на число определяется также обычным образом. При этом аксиомы 1) – 8) для этих операций выполнены, т.е. В₃ – линейное пространство. Линейным пространством являются также множества В₂ и В₁ – множества всех векторов на плоскости и на прямой. Нулевым элементом в этих пространствах является вектор с нулевым модулем (нулевыми координатами).

Пример 2. Пространство всех вещественных чисел.

Пусть Z⁺ множество всех вещественных положительных чисел. Под «сложением» будем понимать обычное умножение двух чисел; под « умножением» любого вещественного числа α на Z Є Z⁺ будем понимать обычное возведение числа Z в степень α. Справедливость аксиом 1) и 2) вытекает из коммутативного и ассоциативного свойств обычного умножения. «нулем» может служить число 1. «Противоположным» элементом Z является .

Множество Z⁺ с указанными операциями является линейным пространством.

Пример 3. Арифметическое пространство Rⁿ векторов.

Rⁿ :{ {x_1,х_2…х_n}│ x_1,х_2…х_n Є R} – множество упорядоченных п-ок чисел; п-ки называются векторами, а числа координатами.

Определение 1. Два вектора называются равными, если все соответствующие координаты совпадают.

Определение 2. Суммой векторов х ={x_1,…, х_n}; y ={ y₁,…y_n} называется вектор х + y : = {х₁ + y₁ ;…х_n + y_n}.

Определение 3. Произведением вектора х на число λЄR называется вектор λх: ={ λх₁,… λх_n } .

Замечание 1. Арифметическое пространство Rn является векторным пространством (удовлетворяет аксиомам 1) – 8)).

Замечание 2. Базисом в Rⁿ является dim Rⁿ = n.

Пример 4. Пространство матриц М_m,n размера m х n является векторным пространством.

Базисом в М_m,n является dim М_m,n = r х r (ранг матрицы М_m,n ).

Пример 5. Пространство многочленов P_n степени ≤n.

Определение 4. Функция вида P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n, где а₀ ,а₁,…, а_nЄR и а₀ ≠ 0 называется многочленом степени n; числа а_n называются коэффициентами.

Определение 5. Два многочлена называются равными, если у них коэффициенты при одинаковых степенях совпадают.

Определение 6. Суммой p(х) = а₀хⁿ +…+ а_n, q(х) = в₀хⁿ + …+в_n называется многочлен

p(х) + q(х) = (а₀ + в₀) хⁿ +…+(а_n + в_n).

Определение 7. Произведением многочлена на число λ называется многочлен λ P(х) = λ а₀хⁿ +…+λ а_n

Замечание 3. Множество P_n многочленов степени ≤n является линейным (векторным) пространством

Замечание 4. Функции 1, х, х²,….хⁿ образуют базис в P_n dim P_n = n + 1.

Линейные отображения (Евклидовы пространства)

Определение 1. Отображением множества элементов А в множество элементов В называется правило, сопоставляющее каждому элементу из А один элемент из В.

Обозначение: f: AB; xA y:=f(x)B.

Пример1. f:=M_nnR. f((a_ij)):= - определитель матрицы.

Пример 2. =f’+g’- линейное отображение.

Определитель матрицы определяет нелинейное отображение.

Пример 3. х = y = , f(x+y)=f( )= 16-24=8, f(x)+f(y)= =

=(4-6)+(4-6)= - 4.

Определение 2. Отображение f = f(х₁,…х_n) : Еⁿ → F называется полилинейным (n – линейным ), если оно является линейным отображением из Е в F по каждой переменной х_к при фиксированных остальных : ,R, x’_k,…, x”_kE, f(x₁,…,x_k-1, x’_k+x”_k, x_k+1,…,x_n)=f(x_1,…,x_k-1, x’_k, x_k+1,…,x_n)+f(x₁,…, x_k-1, x”_k, x_k+1,…,x_n).

Определение 3. n – линейное отображение f: Eⁿ → R называется n- линейной формой.

Определение 4. 2-линейное отображение (форма) называется билинейным отображением (билинейной формой).

Определение 5. Билинейная форма (x,y):E²R называется скалярным произведением на векторном пространстве Е, если оно обладает свойствами:

1) x, yE выполняется (x,y)=(y,x),

2) если для y (x,y)=0, то x=0,

3) для x0 выполняется (x,x)0.

Пример 4. =( ): R, ( ):=IxI IyI cos .

Пример 5. =(x,y): (Rⁿ)²R, x={x₁,…,x_n}, y={y₁,…,y_n}, тогда (x,y):=x₁y₁+…+x_ny_n.

1. очевидно,

2. y (x,y)=x₁y₁+…+x_ny_n=0. В частности, для y=e_k={0,…,0,1,0,…0}, k=1,2…,n, следовательно, (x,e_k)=x_k=0, k=0,1,2,…,n, следовательно, x={0,0,…,0},

3. (x,x)=x₁²+…+x_n²>0  k: x_k0.

Определение 6. Отображение f = : ER называется нормой в пространстве Е , если оно обладает свойствами:

1.  xE 0 и  x=0,

2. R ,

3. x,yE .