Логические основы микропроцессорной техники

примеры логических переменных:

x, y, z или x₁, x₂, x₃ и т.д. и т.п.

1. Логические операции

основные логические операции:

И, ИЛИ, НЕ

количество операций:

k = ,

где n – количество переменных

1.1. Логическая операция И

примеры обозначения операции И:

x∙y или xy или x y

это логическое умножение или конъюнкция

x∙y		y =
		0	1
x =	0	0	0
	1	0	1

конъюнкция
x1	x2	x1∙x2
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

таблица истинности

логического умножения 

1.2. Логическая операция или

примеры обозначения операции ИЛИ:

x + y или x y

дизъюнкция
x1	x2	x1+x2
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

это логическое сложение или дизъюнкция

таблица истинности

логического сложения 

1.3. Логическая операция НЕ

примеры обозначения операции НЕ:

или x' или x

это логическое отрицание или инверсия

или логическое дополнение

инверсия
x	x'
0	1
1	0

таблица истинности

логического отрицания 

1.4. Логические функции

Функция	Название функции	Х1	0	0	1	1
		Х2	0	1	0	1
F1 = X1 Λ  X2	Конъюнкция – лог. умножение (И)		0	0	0	1
F2 = X1 V X2	Дизъюнкция – лог. сложение (ИЛИ)		0	1	1	1
F3 = X1 → X2	Импликация X1 в X2 (f = X'1+X2)		1	1	0	1
F4 = X1 ← X2	Импликация X2 в X1 (f = X1+X'2)		1	0	1	1
F5 = X1  X2	Запрет X2 (f = X1•X'2)		0	0	1	0
F6 = X1  X2	Запрет X1 (f = X'1•X2)		0	1	0	0
F7 = X1 ~ X2	Эквивалентность (искл. ИЛИ-НЕ)		1	0	0	1
F8 = X1 X2	Сложение по модулю 2 (искл. ИЛИ)		0	1	1	0
F9 = X1 | X2	Штрих Шеффера (И-НЕ)		1	1	1	0
F10 = X1 ↓ X2	Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)		1	0	0	0
F11 = X1	Повторение X1		0	0	1	1
F12 = X2	Повторение X2		0	1	0	1
F13 = 1	Константа 1		1	1	1	1
F14 = 0	Константа 0		0	0	0	0
F15 = X'1	Инверсия X1 (НЕ X1)		1	1	0	0
F16 = X'2	Инверсия X2 (НЕ X2)		1	0	1	0

Словосочетания  "если..., то",  "тогда и только тогда, когда" и другие словосочетания в алгебре логики называются логическими связками.

ЕСЛИ-ТО   Операция, выражаемая логическими связками "если ..., то ...", "из ... следует...", "... влечет ...", называется импликацией и обозначается знаком →.

Высказывание А → В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Импликацию можно выразить через отрицание и дизъюнкцию:

А → В = А' v В.

РАВНОСИЛЬНО   Операция, выражаемая логическими связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~.

Высказывание А ↔ В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.  

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А ↔ В = (А' v В ) • (В' v А).

2. Логические выражения

использование скобок:

( ), [ ], { } или (( )), [( )], {[ ]} и т.д.

старшинство операций:

- выражения в скобках;

- операция инверсия;

- операция конъюнкция;

- операция дизъюнкция;

- операция импликация.

3. Теоремы и правила алгебры логики

3.1. Правила операций с константой

0' = 1 1' = 0

x+0 = x x∙1 = x

x+1 = 1 x∙0 = 0

3.2. Правила операций с переменной и её инверсией

x+x' = 1 x∙x' = 0

3.3. Двойное отрицание

(x')' = x

3.4. Идемпотентность

x+x = x x∙x = x

3.5. Коммутативность

x+y = y+x xy = yx

3.6. Поглощение

x+xy = x x(x+y) = x

x+x'y = x+y x(x'+y) = xy

3.7. Теорема Де Моргана

(x+y)' = x'y' (xy)' = x'+y'

3.8. Ассоциативность

(x+y)+z = x+(y+z) = x+y+z (xy)z = x(yz) = xyz

3.9. Дистрибутивность

x+yz = (x+y)(x+z) x(y+z) = xy+xz

4. Логические схемы

4.1. Символическое обозначение логических элементов

x₁

x₁

x₁

И ИЛИ НЕ Иск.ИЛИ

x₁

x₁+x₂

x₁x₂

x₁'

x₁∙x₂

x₂

x₂

x₂

x₁

x₁

x₁

И-НЕ ИЛИ-НЕ Иск.ИЛИ-НЕ

x₁∙x₂

(x₁+x₂)'

(x₁x₂)^

x₂

x₂

x₂

4.2. Символическое обозначение элементов в программе

Electronics Workbench

5. Сумматоры

5.1. Двоичный полусумматор

+	1	x
	0	y
0	1
c0	s

Σ/2

x

1

&

s

c₀

&

y

+	1	x
	1	y
1	0
c0	s

полусумматор
вход		выход
x	y	s	c0
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Таблица истинности

двоичного полусумматора. 

Функция преобразования

двоичного полусумматора:

S = x'y + xy'

C₀= xy

Мнемоническое изображение полусумматора:

s

x

Σ/2

y

c₀