Початкове наближення слід вибрати з умови

.

Похибка методу оцінюється як

,

де - найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі .

Однією з головних проблем при застосуванні методу Ньютона є необхідність аналітичного опису похідної. Якщо це складно чи неможливо, то можна застосувати її наближену оцінку. Тоді замість методу дотичних застосовується метод січних, за яким

,

де - наближена оцінка похідної, що розглядається як січна, а не як дотична, і може бути оцінена за формулою

,

чи

,

де - деякий невеликий крок.

Алгоритм цього методу подібний методу Ньютона, але з іншою ітераційною формулою.

Одним із найбільш важливих способів числового розв’язку рівняння є метод ітерації. Суть методу полягає в тому, що дано рівняння

, (4)

де - неперервна функція, і необхідно визначити його дійсні корені. Замінимо рівняння (4) рівносильним рівнянням

. (5)

Виберемо будь-яким способом грубе наближення значення кореня і підставимо його в праву частину рівняння (5). Тоді отримаємо деяке число

. (6)

Підставимо тепер у праву частину рівняння (6) замість число , отримаємо нове число .

Відповідна ітераційна формула має вигляд

.

Обчислення закінчується, коли

.

Для забезпечення збіжності повинна виконуватись умова про те, що максимальне за модулем значення першої похідної функції на відрізку повинно бути менше одиниці

.

Тоді процес буде збіжний незалежно від вибору початкової точки в інтервалі .

Похибка методу на - ій ітерації обчислюється за виразом

.

Варіанти завдань видає викладач

Звіт повинен містити

1. Розв’язок вручну.

2. Лістинг програми.

3. Результати тестування.

4. Висновки по роботі.

Контрольні питання

1. Які рівняння відносять до лінійних та нелінійних ?

2. Навести класифікацію нелінійних рівнянь і систем та методів їх розв’язку.

3. В яких задачах виникає потреба розв’язання таких рівнянь ?

4. Дати порівняльну оцінку та рекомендації щодо вибору методів розв’язання нелінійних рівнянь та систем .

Метод половинного ділення:

• +

x³-x²-9x+9=0; [-4 ; -2] ɛ = 0,001

f(-4) = -64-16+36+9 = -35 < 0

f(-2) = -8-4+18+9 = 15 > 0

x₁ = = -3

- + + +

[-4 ; -3] i [-3 ; -2]

f(-3) = 0

∆x₁ = |x₁-x₀| = |-3+4| = 1 > ɛ

x₂ = = -3,5

f(3,5) = -14,65 < 0

- - - +

[-4 ; -3,5] i [-3,5 ; -3]

∆x₂ = |x₂-x₁| = |-3+3,5| = 0,5 > ɛ

x₃ = = -3,25

f(-3,25) = -6,640625 < 0

- - - +

[-3,5 ; -3,25] i [-3,25 ; -3]

∆x₃ = |x₃-x₂| = |-3,25+3,5| = 0,25 > ɛ

x₄ = = -3,125

f(-3,125) = -1,158203 < 0

- - - +

[-3,25 ; -3,125] i [-3,125 ; -3]

∆x₄ = |x₄-x₃| = |-3,125+3,25| = 0,125 > ɛ

x₅ = = -3,0625

f(-3,0625) = -1,538462 < 0

- - - +

[-3,125 ; -3,0625] i [-3,0625 ; -3]

∆x₅ = |x₅-x₄| = |-3,0625+3,125| = 0,0625 > ɛ

x₆ = = -3,03125

f(-3,03125) = -0,759796 < 0

- - - +

[-3,0625 ; -3,03125] i [-3,03125 ; -3]

∆x₆ = |x₆-x₅| = |-3,03125+3,0625| = 0,03125 > ɛ

x₇ = = -3,015625

f(-3,015625) = -0,377445 < 0

- - - +

[-3,03125 ; -3,015625] i [-3,015625 ; -3]

∆x₇ = |x₇-x₆| = |-3,015625+3,03125| = 0,015625 > ɛ

X₈ = = -3,0078125

f(-3,0078125) = -0,188110 < 0

- - - +

[-3,015625 ; -3,0078125] i [-3,0078125 ; -3]

∆x₈ = |x₈-x₇| = |-3,0078125+3,015625| = 0,0078125 > ɛ

X₉ = = -3,00390625

f(-3,003906) = -0,093902 < 0

- - - +

[-3,0078125 ; -3,00390625] i [-3,00390625 ; -3]

∆x₉ = |x₉-x₈| = |-3,00390625+3,0078125| = 0,00390625 > ɛ

x₁₀ = = -3,001953125

f(-3,001953125) = -0,0469131 < 0

- - - +

[-3,00390625 ; -3,001953125] i [-3,001953125 ; -3]

∆x₁₀ = |x₁₀-x₉| = |-3,001953125+3,00390625| = 0,001953125 > ɛ

x₁₁ = x^* = = - 3,0009765625 ≈ - 3,000000

f(-3,0009765625) = -0, 023447< 0

- - - +

[-3,001953125 ; -3,0009765625] i [-3,0009765625 ; -3]

∆x₁₁ = |x₁₁-x₁₀| = |-3,0009765625+3,001953125| = 0,0009765625 > ɛ