МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ВІННИЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра електроніки

Звіт по виконання лабораторної роботи №1

з дисципліни

“Обчислювальна математика”

На тему «РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ»

Розробив

Ст. гр. МЕ-11

Чехівський І. О.

Перевірив

к.т.н., децент

каф. Електроніки

Крилик Л.В.

Вінниця 2012

Лабораторна робота № 1 розв’язування нелінійних рівнянь

Мета роботи: уточнення коренів нелінійних рівнянь методами половинного ділення, хорд, дотичних, січних та простої ітерації

Якщо рівняння алгебраїчне або трансцендентне достатньо складне, то його корені рідко можна визначити точно. Крім того, в деяких випадках рівняння містить коефіцієнти, що відомі лише наближено, і, відповідно, задача про точне визначення коренів рівняння втрачає зміст. Тому, важливе значення набувають способи наближеного визначення коренів рівняння та оцінювання степені їх точності.

Метод половинного ділення практично зручно застосовувати для грубого визначення коренів нелінійного рівняння, оскільки при збільшенні точності значно зростає обсяг обчислювальної роботи.

Нехай дано рівняння

, (1)

де функція неперервна на і .

Для визначення кореня рівняння (1), що належить відрізку , ділимо даний відрізок навпіл. Якщо , то є коренем рівняння. Якщо , то вибираємо ту із половин або , на кінцях якої функція має протилежні знаки. Новий звужений відрізок знову ділимо навпіл і проводимо ті ж дії. У результаті отримуємо на деякому етапі або точний корінь рівняння (1), або ж нескінченну послідовність вкладених один в одного відрізків , , …, , … таких, що

, (2)

і

. (3)

Метод половинного ділення легко реалізується на ЕОМ.

Коротко розглянемо метод хорд. За даним методом визначаються значення функції в точках, що розташовані на осі через рівні інтервали. Це робиться поки кінці інтервалів , не будуть мати різні знаки. Пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь у точці

.

Після цього визначають і порівнюють його з . Надалі користуються замість того значення, з яким воно збіглося за знаком.

Наближення припиняється в тому випадку, коли виконується умова

.

Похибка розв’язку оцінюється за формулою:

,

де - відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.

У методі Ньютона (дотичних) здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці.

.

В основі цього методу лежить розкладання функції в ряд Тейлора

Члени, що містять у другому і більших степенях, відкидаються і в результаті отримується наведена вище наближена формула для оцінки .

Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Крім того, у випадку дуже великих значень (опуклість функції) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.