3. Решить задачу п.1 при условии, что известны вероятности Pj наступления

внешних условий Yj, j=1..4.

P1	P2	P3	P4
0,4	0,1	0,2	0,3

Решение:

Из условия задачи следует, что нам известна смешанная стратегия 2го игрока, для оценки полезности использования в данных условиях чистых стратегий 1го игрока, вычислим математическое ожидание.

M (α_i, Y) =

M (α₁, Y) = 17·0,4+7·0,1+2·0,2+11·0,3 = 11,2;

M (α₂, Y) = 3·0,4+14·0,1+19·0,2+9·0,3 = 9,1;

M (α₃, Y) = 10·0,4+18·0,1+13·0,2+15·0,3 = 12,9.

Мы получили математические ожидания проигрыша 2го игрока, но т.к. у нас игра со строгим соперничеством, то проигрыш второго игрока – это выигрыш 1го игрока. Т.к. 1й игрок стремится максимизировать свой выигрыш, то

max M(α_i, Y) = max {11,2; 9,1; 12,9} = 12,9.

α_i

Т.е. максимальную прибыль, при заданных вероятностях наступления внешних условий, 1й игрок получит при вложении средств в Б₃.

Ответ: Б^* = (0; 0; 1).

4. Решить задачу п.1 при условии, что бумага Б3 не продается.

Решение:

Проверим, имеет ли задача решение в чистых стратегиях.

	Y1	Y2	Y3	Y4	min aij j
Б1	17	7	2	11	2
Б2	3	14	19	9	3
max aij	17	14	19	11

i

u = max {2; 3} = 3 => α⁰ = α₂

v = min {17; 14; 19; 11} = 11 => β⁰ = β₄

Т.к. u ≠ v, то решения игры в чистых стратегиях нет, значит, решение игры следует искать в смешанных стратегиях.

Т.к. наша задача имеет размерность 2x4, то ее решение можно найти графическим методом.

Б₁⁰ Б₂⁰

Б⁰ ≈ (0,52; 0,48); u ≈ 10.

Т.к. графический метод не дает точного решения, то применим аналитический метод. Из графика видно, что решение задачи образуется пересечением прямых Y₃ и Y₄, тогда получим

M (X, Y₃) = 2·Б₁ + 19·Б₂;

M (X, Y₄) = 11·Б₁ + 9·Б₂.

2·Б₁ + 19·Б₂ = 11·Б₁ + 9·Б₂,

Б₁ + Б₂ = 1;

9Б₁ = 10Б₂,

Б₁ = 1- Б₂; => Б₂ = 0,47368, Б₁ = 0,52632.

u = M(X⁰, Y₃) = 0,52632·2 + 0,47368·19 = 10,05256.

Ответ: u = 10,05256; Б^* = (0,52632; 0,47368).

Выводы и рекомендации.

1. Из задачи 1 следует, что для максимизации прибыли, портфель ценных бумаг на 16,6667% должен состоять из ценных бумаг вида Б₁ и на 83,3333% - из Б₃. Если инвестор будет придерживаться данной уравновешенной стратегии, то он получит гарантированную прибыль не менее 11,16667 д.е.

2. Недостатком итерационного метода является его медленная сходимость, а также то, что он дает приближенный ответ, поэтому полученный результат несколько отличается от итога 1й задачи. Т.к. доли ценных бумаг несколько смещены в пользу Б₁ и Б₂, то в результате инвестор получает прибыль приблизительно на 0,25539 д.е. ниже, чем в 1й задаче . u = v = 10,91128; Б^* = (0,2; 0,1; 0,07).

3. В 3ей задаче рассматривается ситуация, когда 2й игрок (окружающая среда) отклоняется от своей уравновешенной стратегии, которая была нами найдена в 1ой задаче (Y^* = (0,611111; 0; 0,388889; 0)). Тогда у 1го игрока появляется шанс увеличить свой выигрыш (прибыль), для этого портфель ценных бумаг должен состоять только из бумаг 3го вида, т.е. мы вкладываем свой капитал в самую доходную в сложившейся ситуации бумагу. В данном случае прибыль составит 12,9 д.е.

4. В том случае, если мы не можем приобрести ценные бумаги вида Б₃, по портфель ценных бумаг следует сформировать на 52,632% из бумаг вида Б₁ и на 47,368% из бумаг вида Б₂. Мы получим прибыль в размере 10,05256 д.е., что меньше, чем в 3х предыдущих случаях, значит, инвестору не выгодна ситуация, когда 3й вид ценных бумаг не продается.

В рассмотренной модели отсутствует ситуация, когда инвестор (1й игрок) может проиграть, вкладывая свои средства в ценные бумаги рассмотренных видов, в любом случае он получает прибыль, но размер этой прибыли будет зависеть от его тактики поведения на рынке.

5