Министерство Образования Российской Федерации
Таганрогский Государственный Радиотехнический Университет
Кафедра ПИ
Индивидуальная работа
по курсу «Экономико-математическое моделирование»
на тему: «Теоретико-игровая задача»
Вариант 4.3
Выполнила студентка гр. М-42
Кузнецова Т. С.
Проверил Харчистов Б. Ф.
Таганрог 2005 г.
1. На рынке имеется 3 вида ценных бумаг Бi, i=1..3, прибыль aij (%) от
которых зависит от внешних условий Yj, j=1..4. Определить оптимальное
(обеспечивающее максимальную прибыль) сочетание видов ценных бумаг.
|
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
Б1 |
17 |
7 |
2 |
11 |
Б2 |
3 |
14 |
19 |
9 |
Б3 |
10 |
18 |
13 |
15 |
Решение:
Проверим, имеет ли задача решение в чистых стратегиях.
Согласно принципу осторожно портфель ценных бумаг следует формировать, исходя из самых неблагоприятных условий внешней среды, т.е. чтобы определить защитную стратегию первого игрока используется критерий максимина.
|
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
min aij j |
Б1 |
17 |
7 |
2 |
11 |
2 |
Б2 |
3 |
14 |
19 |
9 |
3 |
Б3 |
10 |
18 |
13 |
15 |
10 |
max aij |
17 |
18 |
19 |
15 |
|
i
u = max {2; 3; 10} = 10 => α0 = α3
v = min {17; 18; 19; 15} = 15 => β0 = β4
Т.к. u ≠ v, то в игре нет седловой точки, и решения в чистых стратегиях игра не имеет, значит, решение игры следует искать в смешанных стратегиях.
Исходя из того, что наша задача имеет размерность 3x4 и платежная матрица состоит только из положительных элементов, то можно составить прямую (для 2го игрока) и двойственную (для 1го игрока) задачи линейного программирования и решить их симплекс-методом.
t1 + t2 + t3 → min, w1 + w2 + w3 + w4 → max,
17t1 + 3t2 + 10t3 ≥ 1, 17w1 + 7w2 + 2w3 + 11w4 ≤ 1,
7t1 + 14t2 + 18t3 ≥ 1, 3w1 + 14w2 + 19w3 + 9w4 ≤ 1,
2t1 + 19t2 + 13t3 ≥ 1, 10w1 + 18w2 + 13w3 + 15w4 ≤ 1,
11t1 + 9t2 + 15t3 ≥ 1, wj ≥ 0, j = 1,4.
ti ≥ 0, i = 1,3.
Решим прямую задачу.
Приводим ограничение к канонической форме
w1 + w2 + w3 + w4 → max,
17w1 + 7w2 + 2w3 + 11w4 + w5 = 1,
3w1 + 14w2 + 19w3 + 9w4 + w6 = 1,
10w1 + 18w2 + 13w3 + 15w4 +w7 = 1,
wj ≥ 0, j = 1,7.
В качестве начального базиса выбираем w5, w6, w7, т.е. Б0 = {w5, w6, w7}.
Строим симплекс-таблицу
Базис |
Св. член |
w1 |
w2 |
w3 |
w4 |
w5 |
w6 |
w7 |
|
w5 |
1 |
17 |
7 |
2 |
11 |
1 |
0 |
0 |
0,058824 |
w6 |
1 |
3 |
14 |
19 |
9 |
0 |
1 |
0 |
0,333333 |
w7 |
1 |
10 |
18 |
13 |
15 |
0 |
0 |
1 |
0,1 |
L |
0 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базис |
Св. член |
w1 |
w2 |
w3 |
w4 |
w5 |
w6 |
w7 |
|
w1 |
0,058824 |
1 |
0,411765 |
0,117647 |
0,647059 |
0,058824 |
0 |
0 |
0,5 |
w6 |
0,823529 |
0 |
12,76471 |
18,64706 |
7,058824 |
-0,176471 |
1 |
0 |
0,044164 |
w7 |
0,411765 |
0 |
13,88235 |
11,82353 |
8,529412 |
-0,588235 |
0 |
1 |
0,034826 |
L |
0,058824 |
0 |
-0,588235 |
-0,882353 |
-0,352941 |
0,058824 |
0 |
0 |
|
Базис |
Св. член |
w1 |
w2 |
w3 |
w4 |
w5 |
w6 |
w7 |
|
w1 |
0,054726 |
1 |
0,273632 |
0 |
0,562189 |
0,064677 |
0 |
-0,00995025 |
|
w6 |
0,174129 |
0 |
-9,129353 |
0 |
-6,393035 |
0,751244 |
1 |
-1,57711443 |
|
w3 |
0,034826 |
0 |
1,174129 |
1 |
0,721393 |
-0,049751 |
0 |
0,08457711 |
|
L |
0,089552 |
0 |
0,447761 |
0 |
0,283582 |
0,014925 |
0 |
0,07462687 |
|
Т.к. среди коэффициентов целевой строки нет отрицательных, то найденное ДБР является оптимальным. Решением задачи линейного программирования для 1го игрока будет являться T0 = (0,0149; 0; 0,0746), а для 2го – W0 = (0,0547; 0; 0,0348; 0).
Цена игры u = v = 1/L0 = 11,16667.
Значит, оптимальная смешанная стратегия 1го игрока равна Б0 = uT0 = (0,166667; 0; 0,833333), а 2го игрока – Y0 = vW0 = (0,611111; 0; 0,388889; 0).
Ответ: u = v = 11,16667; Б* = (0,166667; 0; 0,833333).
2. Найти приближенное решение задачи п.1 методом итераций (выполнить 20
шагов итерационного процесса).
Решение:
n |
i |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
j |
Б1 |
Б2 |
Б3 |
v |
v |
v* |
1 |
Б1 |
17 |
7 |
2 |
11 |
Y3 |
2 |
19 |
13 |
2 |
19 |
10,5 |
2 |
Б2 |
20 |
21 |
21 |
20 |
Y1 |
19 |
22 |
23 |
10 |
11,5 |
10,75 |
3 |
Б3 |
30 |
39 |
34 |
35 |
Y1 |
36 |
25 |
33 |
10 |
12 |
11 |
4 |
Б1 |
47 |
46 |
36 |
46 |
Y3 |
38 |
44 |
46 |
9 |
11,5 |
10,25 |
5 |
Б3 |
57 |
64 |
49 |
61 |
Y3 |
40 |
63 |
59 |
9,8 |
12,6 |
11,2 |
6 |
Б2 |
60 |
78 |
68 |
70 |
Y1 |
57 |
66 |
69 |
10 |
11,5 |
10,75 |
7 |
Б3 |
70 |
96 |
81 |
85 |
Y1 |
74 |
69 |
79 |
10 |
11,28571 |
10,64286 |
8 |
Б3 |
80 |
114 |
94 |
100 |
Y1 |
91 |
72 |
89 |
10 |
11,375 |
10,6875 |
9 |
Б1 |
97 |
121 |
96 |
111 |
Y3 |
93 |
91 |
102 |
10,66667 |
11,33333 |
11 |
10 |
Б3 |
107 |
139 |
109 |
126 |
Y1 |
110 |
94 |
112 |
10,7 |
11,2 |
10,95 |
11 |
Б3 |
117 |
157 |
122 |
141 |
Y1 |
127 |
97 |
122 |
10,63636 |
11,54545 |
11,09091 |
12 |
Б1 |
134 |
164 |
124 |
152 |
Y3 |
129 |
116 |
135 |
10,33333 |
11,25 |
10,79167 |
13 |
Б3 |
144 |
182 |
137 |
167 |
Y3 |
131 |
135 |
148 |
10,53846 |
11,38462 |
10,96154 |
14 |
Б3 |
154 |
200 |
150 |
182 |
Y3 |
133 |
154 |
161 |
10,71429 |
11,5 |
11,10714 |
15 |
Б3 |
164 |
218 |
163 |
197 |
Y3 |
135 |
173 |
174 |
10,86667 |
11,6 |
11,23333 |
16 |
Б3 |
174 |
236 |
176 |
212 |
Y1 |
152 |
176 |
184 |
10,875 |
11,5 |
11,1875 |
17 |
Б3 |
184 |
254 |
189 |
227 |
Y1 |
169 |
179 |
194 |
10,82353 |
11,41176 |
11,11765 |
18 |
Б3 |
194 |
272 |
202 |
242 |
Y1 |
186 |
182 |
204 |
10,77778 |
11,33333 |
11,05556 |
19 |
Б3 |
204 |
290 |
215 |
257 |
Y1 |
203 |
185 |
214 |
10,73684 |
11,26316 |
11 |
20 |
Б3 |
214 |
308 |
228 |
272 |
Y1 |
220 |
188 |
224 |
10,7 |
11,2 |
10,95 |
Из таблицы следует, что при n = 20 цена игры u = v = 10,91128 при следующей частости использования стратегий:
PБ1 |
0,2 |
|
PY1 |
0,6 |
PБ2 |
0,1 |
|
PY2 |
0 |
PБ3 |
0,7 |
|
PY3 |
0,4 |
|
|
|
PY4 |
0 |
Ответ: u = v = 10,91128; Б* = (0,2; 0,1; 0,07).