3. Формула Циолковского и её практическое применение

Идеальная скорость – скорость, которую приобрёл бы летательный аппарат, двигаясь прямолинейно, если бы весь запас энергии, находящийся на его борту, был бы израсходован на ускорение.

Vu=Vq + ∆Vп = Vq + ∆Vгр + ∆Vэр + ∆Vупр

где: Vq, ∆Vп - действительная скорость и её потери;

∆Vгр, ∆Vэр, ∆Vупр - потери скорости гравитационные, аэродинамические и на управление, соответственно.

15

Первая космическая скорость Vк,1 = 7900 м/с

Vк,1 + V п,к.1 = ∆Vк, 2 = 10200 м/с

Идеальная скорость характеризует запас топлива на борту ракеты, необходимый для проведения определённого манёвра.

Массовые модели одно и двухступенчатых ракет приведены на рис.7.

Рис. 7. Массовые характеристики ракеты

Условные обозначения:

ст, о, к, п, п.ф., конс.,т, - массы ступени стартовая, конечная, полезная, полезная фиктивная, конструкции и топлива, соответственно.

Масса ракеты, находящаяся над ступенью, также называется полезной фиктивной нагрузкой.

Одноступенчатая ракета называется субракетой.

Количество субракет определяется требуемой дальностью доставки полезного груза. Так при использовании ЖРДУ для обеспечения дальности полёта до 100 км используется 1 ступень, при дальности 1000-3000 км – 2 ступени, в при дальности более 3000 км – 3 ступени.

Относительные массовые характеристики субракеты можно определить по следующим зависимостям:

1. Относительная масса полезного груза

Мп

λ = ——

М₀

16

1. Относительная масса конструкции

Мконст

ε = ———

М₀

2. Относительная масса топлива

Мт

μ = ——

М₀

3. Число Циолковского – Z и модифицированное число Циолковского z:

М₀ М₀ М₀ Мк + Мт 1 1

Z = —— = ———— = ————— = ———— = —— = ——— = 1 + z

Мк М₀ – Мт Мп + Мконст Мк 1 – μ λ + ε

Формула Циолковского предназначена для определения идеальной скорости ракеты.

При выводе формулы Циолковского примем следующие допущения:

ракета летит прямолинейно;

гравитационные силы не рассматриваются;

давление окружающей среды отсутствует.

Рассмотрим расчётную схему исследования процесса, рис. 8.

Рис. 8. Расчетная схема

Согласно первому закону Ньютона:

dVu

F = ma = M ——

dτ

17

Согласно формуле тяги:

dM

Ρ = - Wэ ——

dτ

Знак «-» в вышеприведённой формуле указывает на снижение массы двигательной установки М за счёт уменьшения массы топлива;

F ≡ P

MdVu dM

———— = - Wэ ——

dτ dτ

Vкон Мк dM

∫ dVu = - Wэ ∫ ——

Vнач Мо M

Mo

Vкон – Vнач = ∆Vu = - Wэ ∙ ln—— = Wэ ∙ ln Z

Mк

Если конструкция космического аппарата состоит из N субракет и при этом значения числа Циолковского и эквивалентной скорости для них одинаковы, то изменение идеальной скорости можно рассчитать по формуле:

∆Vu = N ∙ Wэ ∙ ln Z

18