Доведення

Розглянемо систему із N тіл, які взаємодіють між собою. Силу, яка діє на i-те тіло з боку j-ого тіла позначимо . Рівняння руху для кожного із N тіл записуються у вигляді:

,

де - імпульс i-ого тіла.

Просумувавши усі рівняння, й враховуючи те, що за третім законом Ньютона

,

отримуємо:

,

звідки

,

тобто сумарний імпульс є інтегралом руху.

Центр маси — точка, через яку повинна проходити лінія дії сили, щоб тіло руха­лось поступально.

Центр маси системи рухається як ма­теріальна точка, в якій зосереджена маса всієї системи і на яку діє сила, що дорів­нює геометричній сумі усіх зовнішніх сил, що діють на тіло.

7. Існує два способи передачі руху (і відпо­відно енергії) від одного макротіла до іншого: у формі роботи і у формі теплоти (теплообміну). Зміну енергії першим спо­собом називають механічною роботою. Робота є міра зміни і перетворення

Кінетична енергія — це енергія рухомого тіла.

Кінетична енергія в класичній механіці:

Оскільки швидкість тіла є величиною відносною, тобто залежить від вибору сис­теми відліку, то й кінетична енергія віднос­на. Кінетична енергія завжди додатня.

Кінетична енергія в релятивістській механіці:

Робота всіх сил, що діють на тіло, до­рівнює зміні його кінетичної енергії — тео­рема про кінетичну енергію:

8. Консервативні сили — це сили тяжіння, пружності, кулонівські сили.

Консервативна сила — сила, робота якої при переміщенні тіла залежить тільки від початкового і кінцевого положення тіла в просторі. Наприклад, робота сили тяжіння.

Робота консервативних сил у будь-яко­му замкнутому контурі дорівнює нулю Потенціальне поле — поле консерватив­них сил.

Кінетична і потенціальна енергія — функції стану системи, тобто можуть бути точно визначеними, якщо відомі коорди­нати і швидкості всіх тіл системи, а та­кож система відліку.

Потенціальна енергія — це енергія, обумов­лена взаємодією тіл або частинок тіла. У механіці розрізняють:

а) потенціальну енергію тіла, піднятого над Землею, де п — висота над рівнем, на якому потенціальна енергія системи «Земля — тіло» приймається за нуль (нульовий рівень потенціальної енергії):

E п=mgh;

Робота сили тяжіння і пружності дорів­нює зміні потенціальної енергії тіла, взя­тої з протилежним знаком:

Робота постійної сили — це скалярний до­буток сили на переміщення (рис. 65):

9. Сила тяжіння і всесвітнього тяжіння є граві­таційні сили. Вони є виявом гравітацій­них полів.

Гравітаційне поле характеризує зміну фізичних і геометричних властивостей простору поблизу масивних тіл і може бути виявлено за силовим впливом на інші фізичні тіла.

Сила всесвітнього тяжіння — сила, яка обумовлює притягання всіх тіл у Всесвіті.

Закон всесвітнього тяжіння, відкритий Нью­тоном:

дві матеріальні точки притягуються одна до одної із силами, модуль яких прямо пропорційний добутку їх мас і обернено про­порційний квадрату відстані між ними:

Коефіцієнт пропорційності називають гравітаційною сталою та позначають в.

Гравітаційна стала чисельно дорівнює силі притягання між двома матеріальними точками масою по 1 кг, розташованими на відстані 1 м:

Одним із проявів сили всесвітнього тя­жіння є сила притягання тіла до Землі, яка називається СИЛОЮ тяжіння і за дру­гим законом Ньютона дорівнює т£, де # = 9,81м/с² — прискорення вільного падіння біля поверхні Землі:

Прискорення вільного падіння близько від по­верхні Землі можна розрахувати за формулою

П рискорення вільного падіння на висоті Н над поверхнею Землі:

Кулонівські сили Електростатична сила взаємодії F₁₂ двох точкових нерухомих зарядів q₁ та q₂ у вакуумі прямо пропорційна добутку абсолютних значень зарядів і обернено пропорційна квадрату відстані r₁₂ між ними.

,

у векторній формі:

,

Сила взаємодії направлена вздовж прямої, що з'єднує заряди, причому однойменні заряди відштовхуються, а різнойменні притягуються. Сили, що визначаються законом Кулона адитивні.

Коефіціент пропорційності k має назву електростатичної сталої та залежить від вибору одиниць виміру. Так в Міжнародній системі одиниць СІ k=1/(4πε₀) ≈ 8,987742438·10⁹ Н·м²·Кл^-2, де - електрична стала. В системі СГСГ одиниця вимірювання заряду обрана таким чином, що k=1.

Такі умови є необхідними для виконання сформульованого закону:

1. Точковість зарядів — відстань між зарядженими тілами має бути набагато більшою від розмірів тіл.

2. Нерухомість зарядів. У протилежному випадку потрібно враховувати магнітне поле заряду, що рухається.

В однорідному ізотропному середовищі сила взаємодії між зарядами зменшується в ε разів: , де ε діелектрична проникність середовища.

10. Закон збереження механічної енергії: повна механічна енергія системи тіл, в якій діють лише консервативні сили (потен­ціальні ), є величина стала.

Центральний удар — це удар, при якому тіла до удару рухаються, вздовж прямої, що проходить через їхні центри мас.

При співударі абсолютно пружних тіл зберігається їх сумарна кінетична енер­гія і сумарний імпульс.

Механічний удар двох тіл характери­зується коефіцієнтом відновлення (є):

це відношення відносної швидкості тіл після співудару до відносної швидкості до співудару. Якщо є = 1, удар називається абсолютно пружним (рис. 66, а). Якщо є = 0, удар називається абсолютно непружним (рис. 66, б). В дійсності при ударі двох тіл 1 > є > 0. При ударі свинцевих куль є близький до 0, тобто удар близький до аб­солютно непружного. Під час удару куль із слонової кістки є ~ 0,9, тобто удар близький до абсолютно пружного.

11. Абсолютно непружний удар — зіткнення двох тіл, у результаті якого тіла об'єдну­ються, рухаючись далі як єдине ціле у на­прямку руху тіла, що мало більший імпульс (рис. 66, г).

При непружному співударі закон збе­реження імпульсу має вигляд:

При недружному співударі частина ме­ханічної енергії переходить у внутрішню. Якщо зміна внутрішньої енергії зв'язана тільки зі зміною температури тіла або його агрегатного стану, то

12. Миттєва швидкість при криволінійному русі напрямлена по дотичній до траєкторії в кожній її точці (рис. 15, а).

Якщо тілу надати прискорення а, на­прямленого під кутом до його швидкості, то вектор прискорення буде мати дві скла­дові: дотичне, або тангенціальне прискорен­ня а_т, напрямлене по дотичній до траєк­торії (колінеарно вектору швидкості), і нормальне прискорення а_п, напрямлене перпендикулярно(нормально) до вектора швидкості (рис. 15, б).

Якщо розбити криволінійну траєкторію на достатньо маленькі відрізки, то кожен відрізок можна розглядати як дугу кола відповідного радіуса. Тоді а_п напрямлено до центра кола і тому називається доцен­тровим а_л (рис. 16).

Тангенційне прискорення а\ визначає зміну швидкості за величиною.

Нормальне прискорення а_п визначає зміну швидкості за напрямком.

Рух по колу є прикладом криволіній­ного руху.

Рівномірний рух по колу характери­зується кутовою швидкістю со, лінійною швидкістю v, періодом Т, частотою п.

Швидкість v напрямлена дотично до кола. *

Лінійна швидкість дорівнює модулю мит­тєвої швидкості.

Під час руху матеріальної точки по колу модуль її миттєвої швидкості з ча­сом не змінюється: v = const (v_A = v_B) (рис. 17).

Л інійна швидкість дорівнює довжині дуги І, пройденої точкою за одиницю часу:

Тангенційне прискорення при рівномірному русі точки по колу дорівнює нулю: а_х = 0.

У кожній точці траєкторії доцентрове при­скорення напрямлене вздовж радіуса до цен­тра кола, а його модуль дорівнює

Кутова швидкість со рівномірного руху по колу дорівнює куту повороту Дер радіуса і? за одиницю часу:

1 радіан дорівнює центральному куту, який опирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу (рис. 19, с. 26): Ф = 1 рад.

Повний центральний кут

Період обертання Т — це час, за який точ­ка здійснює один повний оберт по колу.

Частота обертання п — кількість повних обертів, здійснюваних точкою при рівно­мірному русі по колу за одиницю часу.

Лінійна швидкість v визначається так:

Кутова швидкість со визначається так:

К утове прискорення є визначається відно-. шенням зміни кутової швидкості за про­міжок часу до тривалості цього проміжку:

13.