§10 Производные сложных функций.

Пусть, z=f(x,y), x=x(t) y=y(t) тогда z=f(x(t),y(t))–сложнае функция независимой переменной t, а x и y для нее промежуточные переменные.

Теорема

Если функции x(t), y(t) дифференцируем ы в точке t, а z=f(x,y) дифференцируема в точке (x,y), где x=x(t), y=y(t) то сложная функция z=f(x(t), y(t)) также дифференцируема в точке t, причем

(0)

в этой точке.

Доказательство

Пусть приращению t переменной t в данной точке t соответствует приращения x и y переменных х и у:

x=x(t+t)-x(t) (1)

y=y(t+t)-y(t)

Приращениям x и y переменных х и у соответствует приращение функции z: z=f(x+x, y+y)-f(x,y)

Т. к. эта функция дифференцируема в точке (x,y), где x=x(t), y=y(t), то

z= (x,y)x+ (x,y)y+1 x+2y, (2)

Где: 1 и 2 -бесконечно малые при x

Разделим на t

(3)

Перейдем к пределу при t

По условию x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t, т. е.

А если x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t, то они непрерывны в этой точке, а значит если t , то x и как следует 1. , 2

Таким образом при t существует предел выражения, стоящего в правой части равенства (3), а следовательно существует

Причем

Или

Следствие1

Если z=f(x,y),где y=(x), то z=f(x, (x)) - сложная функция по х. При выполнении соответствующих условий на основании (2) получим

(4)

Производная – частная производная функции z=f(x,y) по х. Она вычисляется при закрепленном значении у. Производная есть полная

производная z как сложной функции х, зависящей от х явным образом и через посредство переменной у.

Следствие 2

Если u=f(x,y,z), где x=x(t),y=y(t),z=z(t) то

(5)

Следствие 3

Если z=f(x), где x=x(u,v), y=y(u,v)

Тогда z=f(x(u,v), y(u,v)) будет сложной функцией независимых переменных u и v.

Производная от функции, заданной неявно.

F(x,y)=0

Теорема (существования неявной функции)

Пусть

F(x,y) определена и непрерывна вместе со своими производными ,и в некоторой окресности точки (x0, y0 )

F(x,y) в точке (x0, y0 ) обращается в ноль: F(x0, y0 )=0

3)

тогда:

в некотором прямоугольнике D

уравнение F(x,y) определяет у как однозначную функцию от х: y=f(x)

2) при х=х0 f(х0 )=y0

3)на интервале функция y=f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную.

Доказательство:

По условию функция y=f(x) неявно заданная уравнением F(x,y)=0 дифференцируема в окресности точки х0

Т. к. в этой окресности F(x,f(x)) , то для любой ее точки

Вычисляя полную производную

Следствие:

Если в некоторой окресности точки (x0 , y 0 , z 0 ) F(x,y,z) и непрерывны, причем

F(x0 , y 0 , z 0 )=0 a

(x0 , y 0 , z 0 ) , то

Или ;