5. Площини особливого положення

У залежності від розташування площин відносно площин проекцій площини поділяються на проектувальні площини і площини рівня.

5.1. Проектувальні площини

Проектувальні площини — це площини, які перпендикулярні до однієї з площин проекцій. Вони мають збиральні властивості, тобто креслення, які належать до такої площини, проектуються на відповідний її слід. Такі площини поділяються на горизонтально-проекту­вальні, фронтально-проектувальні і профільно-проектувальні площини.

Горизонтально-проектувальна площина — це площина, яка перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій (рис. 3.7), а — просторова модель, б — креслення,  П₁  (A  ),  А₁  _1.

Рис. 3.7

Фронтально-проектувальна площина — це площина, яка перпендикулярна до фронтальної площини проекцій (рис. 3.8).

  П₂  (B₂  ₂)    П₂  (B  )  B₂  ₂

Рис. 3.8

Профільно-проектувальна площина — це площина, яка перпендикулярна до профільної площини проекцій (рис. 3.9),  П₃  (C  )  C₃  ₃. Профільний слід площини використовується для визначення по одній проекції точок інших. З креслення видно, як використовується профільний слід ₃, якому належить C₃, для визначення горизонтальної проекції C₁.

Рис. 3.9

Крім профільно-проектувальної площини, наведеної на кресленні (рис. 3.9), існують ще два випадки: у першому випадку профільно-проектувальна площина  (₂  ₁)  (OX) проходить через вісь (ОХ) і нахилена під однаковими кутами 45° до площини П₂ і П₁. Така площина називається бісекторною (рис. 3.10).

Рис. 3.10

Для побудови такої площини проводиться з точок збігу слідів α_12, α_13, α₂₃ профільний слід площини α₃ під кутом 45° до осі (OY₃) і (OZ). Горизонтальна проекція B₁ визначається за допомогою B₃  ₃ і B₂ за допомогою ліній проектувального зв’язку, що видно з креслення.

Рис. 3.11

У випадку, коли профільно-проектувальна площина  (рис. 3.11) проходить через вісь (ОХ) і нахилена до площин П₁ і П₂ під різними кутами, для побудови профільного сліду такої площини α₃ потрібно мати точку M, яка належить до площини . Для побудови ₃ визначається профільна проекція M₃, по двом заданим проекціям M₂ і M₁, через точки збігу слідів _23, α₁₃ і M₃ проводиться профільний слід площини ₃. Побудови видно з креслення.

5.2. Площини рівня

Площини рівня — це площини, які перпендикулярні до двох площин проекцій або паралельні до однієї площини. Вони мають збиральні властивості. Креслення, що належать до такої площини, проектуються на відповідні її сліди.

Горизонтальна площина — це площина, яка перпендикулярна до П₂ і П₃ і паралельна до горизонтальної площини проекцій (рис. 3.12), а — просторова модель. Площина  ∩ П₂ = ₂ — фронтальний слід площини, який паралельний осі (ОХ). Площина  перетинає профільну площину проекцій П₃ — утворює профільний слід ₃. Перетин слідів ₂  ₃ визначає точку збігу слідів ₂₃ на осі (OZ). Точка А, яка належить до площини , проектується на сліди А₂  ₂, а також на площину А₁  П₁. Проектування А₁ і А₃ на вісь (OY) визначає проекцію А_y. На рис. 3.12, б показана горизонтальна площина на кресленні, де ₂ — фронтальний слід площини , А₂ і А₁ — проекції точки А, яка належить до площини .

Рис. 3.12

Фронтальна площина — це площина, яка перпендикулярна до П₁ і П₃ а також паралельна до фронтальної площини проекцій. На кресленні (рис. 3.13) показано фронтальну площину рівня . || П₂  ₁ || (OX), B    B₁  ₁.

Рис. 3.13

Профільна площина — це площина, яка перпендикулярна до П₂ і П₁ і паралельна до профільної площини проекції (рис. 3.14). || П₃  ₂ || (OZ)  ₁ || (OY₁), C    C₂  ₂  C₁  ₁.

На рис. 3.14 показано, як знайдено горизонтальну і фронтальну проекції точки С (С₁, С₂) по її профільної проекції. Побудови видно з креслення.

Рис. 3.14

Завдання для самоперевірки

Задача № 1

Визначити, чи належить пряма (AB) до площини (R)?

Задача № 2

Визначити, чи належить точка B до площини (R)?

Задача № 3

У площині R проведено лінію (AB). Чи є вона лінією найбільшого нахилу?

Задача № 4

Визначити, чи належить відрізок [AB] до площини ?

6. Взаємне розташування площин

Площини в просторі можуть бути паралельними або перетинними.

6.1. Паралельні площини задані слідами

Якщо паралельні площини задані слідами, то їх відповідні сліди повинні бути паралельні між собою (рис. 3.15). R || Q  (f₂ || f΄'₂)  (h₁ || h'₁).

Рис. 3.15

6.2. Перетинні площини

Площини перетинаються по прямій лінії. Для визначення такої лінії потрібно знати дві точки, які одночасно належать до обох площин, такі точки знаходяться на перетині відповідних слідів площин. На рис. 3.16 наведено просторову модель перетину двох площин загального положення, на якій показано, що фронтальна проекція точки перетину площин R ∩ Q знаходиться на перетині фронтальних слідів f '₂ ∩ f₂ = M₂  M, горизонтальна проекція перетину площин R ∩ Q знаходиться на перетині горизонтальних слідів h₁ ∩ h'₁ = N₁  N. M₁ – горизонтальна проекція фронтального сліду; N₂ – фронтальна проекція горизонтального сліду.

Рис. 3.16

Побудову лінії перетину двох площин загального положення на кресленні показано на рис. 3.17. Фронтальна проекція точки M₂, яка належить до лінії перетину, визначається при перетині f₂ ∩ f '₂ = M₂, горизонтальна проекція визначається при перетині h₁ ∩ h'₁ = N₁, M₁ і N₂ визначаються за допомогою ліній проектувального зв’язку. R ∩ Q = (MN).

Рис. 3.17

На рис. 3.18 показано побудову лінії перетину площини загального положення з горизонтально-проектувальною площиною. Перетин фронтальних слідів f₂∩₂ = M₂ визначає фронтальну проекцію M₂, M₁ визначається за допомогою лінії проектувального зв’язку, горизонтальну проекцію отримано при перетині ₁∩h₁ = N₁, N₂ визначається за допомогою лінії проектувального зв’язку. Фронтальна проекція лінії перетину — [M₂N₂], горизонтальна проекція лінії перетину — [M₁N₁]. У такому випадку горизонтальна проекція лінії перетину збігається з горизонтальним слідом площини , [M₁N₁]  ₁.

Рис. 3.18

На рис. 3.19 показано побудову лінії перетину площини загального положення R з горизонтальною площиною рівня . Площини перетинаються по горизонталі [M₂N₂] || (OX), [M₁N₁] || h₁. Фронтальна проекція лінії перетину збігається зі слідом площини , [M₂N₂]  ₂.

Рис. 3.19