1.6 Силы упругости

Основные законы и формулы

1. Относительная деформация при продольном растяжении или сжатии:

,

где – относительное удлинение (сжатие), – абсолютное удлинение, l – начальная длина тела.

2. Напряжение нормальное:

,

где F – растягивающая или сжимающая сила, S – площадь поперечного сечения тела.

3. Закон Гука:

а) для продольного растяжения или сжатия

или

,

или

,

где E – модуль продольной упругости (модуль Юнга), – жесткость тела.

4. Работа упругой силы:

.

Примеры решения задач.

Пример 1. Найти работу, которую необходимо совершить, чтобы сжать пружину на =20 см, если известно, что сила упругости пропорциональна деформации, и под действием силы F=29,4 Н пружина сжимается на 1 см.

Решение. В данном случае сила, действующая со стороны упругой пружины на растягивающие тела, , где k – коэффициент упругости, – величина деформации. Величина силы изменяется в зависимости от величины . Поэтому работа такой силы может быть определена по формуле , где .

В нашем случае начальная величина деформации l₀=0, поэтому следовательно, . Как следует из условия задачи, коэффициент упругости k=29,4 Н/см. Зная k и , находим работу: Дж.

П ример 2. Шар массой 1 кг падает с высоты 20 м и попадает на вертикально стоящую пружину высотой 0,2 м. При ударе пружина сжимается на 10 см. Определить жесткость пружины. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Система «шар в поле силы тяжести – пружина» является замкнутой, поэтому задача может быть решена на основании закона сохранения энергии. Нулевой уровень потенциальной энергии системы выбираем на горизонтали, расположенной на уровне верха недеформированной пружины (рис.12). Тогда начальная энергия системы ,

Рис.12

где – высота недеформированной пружины, конечная – .

По закону сохранения механической энергии , т.е. ,

откуда Н/м.

1.7 Гармонические колебания. Волны в упругой среде

Основные законы и формулы

1. Уравнение гармонических колебаний:

,

где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, t – время, А – амплитуда колебаний, – круговая (или циклическая) частота, – начальная фаза колебаний, ( ) – фаза колебаний в момент времени t.

2. Круговая (циклическая) частота колебаний:

или

,

где – частота колебаний, Т – период колебаний.

3. Скорость точки, совершающей гармонические колебания:

.

4. Ускорение при гармоническом колебании:

.

5. Полная энергия колеблющейся точки:

.

6. Период колебаний:

а) тела, подвешенного на пружине,

,

где m – масса тела, k – жесткость пружины.

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

б) математического маятника

,

где l – длина маятника, g – ускорение свободного падения;

в) физического маятника

,

где J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний, а – расстояние центра тяжести маятника от оси колебаний, – приведенная длина физического маятника.

7. Скорость распространения волны, длина волны , частота v (или период Т) связаны соотношениями:

,

.

8. Уравнение бегущей волны:

,

где у – смещение точки, имеющей координату х, х – расстояние точки от источника колебаний (координата).

9. Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между этими точками и длина волны связаны соотношением:

.