1.3 Динамика поступательного движения

Основные законы и формулы

1.Динамика изучает движение тел с учетом причин, обусловливающих характер данного движения. Механическое движение тел изменяется в результате их взаимодействия. Мерой такого взаимодействия является сила. Если на тело действуют одновременно несколько сил, то их действие можно заменить действием одной силы F, называемой равнодействующей данных сил:

F F_i.

Основу динамики составляют три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона: существуют системы отсчета, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно, или находится в покое, если равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю. Такие системы отсчета называют инерциальными. При

F = ∑F_i = 0 υ = const.

Второй закон Ньютона: сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на сообщаемое этой силой ускорение:

Δ(mυ)

Δt

F=mа или F=

где Δt – промежуток времени, за который произошло изменение импульса Δ(mυ) под действием силы F.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению.

Количество движения (импульс) р материальной точки массой m, движущейся со скоростью υ,

р=mυ.

Закон сохранения импульса:

р_i=const,

или для двух тел (i=2) υ₁+m₂υ₂= m₁u₁+m₁u₂ , где υ₁ и υ₂ – скорости тех же тел в момент времени, принятый за начальный; u₁ и u₂ – скорости теж же тел, в момент времени, принятый за конечный.

Сила тяжести:

F_Т=mg,

где g – ускорение свободного падения;

Величина силы трения (скольжения):

F_ТР N,

где – коэффициент трения; N – сила реакции опоры.

Примеры решения задач

Пример 1. Через блок перекинута нить, к концам которой подвешены грузы m₁=2 кг и m₂=2,1 кг. Начальные скорости грузов равны нулю. Каково перемещение грузов за время t=2 с? Какова сила натяжения нити? Массой нити и трением в блоке пренебречь.

Решение. Направим координатную ось Оу вертикально вверх, как указано на рис. 2. Уравнение для координаты первого груза запишем в виде:

Но тогда

В момент времени t y=s. Таким образом, величина перемещения

Ускорение движения а найдем, Рис. 2

составив уравнения движения грузов в проекциях на ось Оу (при этом учтем, что Т₁=Т₂=Т, а₁=а₂=а):

Преобразовав эти два уравнения, найдем

Величина перемещения

Силу натяжения нити найдем из уравнения движения первого груза:

Пример 2. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массой г (рис.3). Тело массой г подвешено на нити, перекинутой через блок и привя- Рис. 3

занной к телу . Пренебрегая массой блока и трением, определить: 1) силу натяжения нити; 2) ускорение тел.

Решение. 1. На тело массой действуют сила тяжести и сила натяжения Т нити. Силы, направление которых совпадает с направлением ускорения, будем считать положительным, а силы, направление которых противоположно направлению ускорения, – отрицательными. Запишем второй закон Ньютона для тела массой :

, (1)

где а – ускорение тела; g – ускорение свободного падения.

На тело массой действуют сила тяжести , сила натяжения Т нити и сила реакции N стола. Силы N и Р₁ равны по модулю и противоположно направлены, поэтому их равнодействующая равна нулю. Вследствие этого отсутствует вертикальное перемещение тела.

Второй закон Ньютона в скалярном виде для тела массой имеет вид

. (2)

Чтобы найти ускорение, подставим (2) в (1): , или , откуда

. (3)

Выразим массу тел и в единицах СИ: кг и кг.

Вычислим ускорение а по формуле (3):

м/с².

2. Силу натяжения нити найдем, подставив полученный результат в уравнение (2):

Н.

Пример 3. Автомобиль массой 1 т поднимается по шоссе с уклоном 30⁰ под действием силы тяги 7 кН. Коэффициент трения между шинами автомобиля и поверхностью шоссе 0,1. Найти ускорение автомобиля.

Р ешение. На автомобиль действуют: mg – сила тяжести, N – сила нормальной реакции шоссе, F– сила тяги, F_тр. – сила трения. Вектор а, по условию задачи, направлен вверх по наклонной плоскости (рис. 4). Запишем для автомобиля уравнение

второго закона Ньютона в векторной форме:

mg+F+N+F_тр.=ma. Рис. 4

Спроецируем обе части этого уравнения на выбранные направления осей Х и Y:

, (1)

. (2)

Из уравнения (2) находим, что . Учитывая, что , запишем уравнение (1) в виде , откуда

П ример 4. Человек массой 70 кг поднимается в лифте, движущемся равнозамедленно вертикально вверх с ускорением 1 м/с². Определить силу давления человека на пол кабины лифта.

Решение. На человека, находящегося в кабине лифта, действуют: mg – сила тяжести и N – сила реакции пола кабины (рис.5).

Ускорение движения лифта направлено вертикально вниз. Запишем для человека уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

Рис. 5 N+mg=ma. (1)

Проведем ось Y в направлении движения лифта и, находя проекции сил на ось, напишем уравнение (1) в скалярной форме:

N-mg = - ma, (1)

откуда

;

N=70(9,8-1)=616 Н.

На основании третьего закона Ньютона сила давления F человека на пол кабины равна по модулю силе реакции N пола кабины: F=N=616 Н.

Пример 5. Ядро, летевшее в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с, разорвалось на два осколка массами 10 кг и 5 кг. Скорость меньшего осколка равна 90 м/с и направлена вертикально вверх. Определить модуль и направление скорости большего осколка.

Решение. Система «ядро – осколки» не замкнута вследствие действия силы тяжести. Однако задача может быть решена на основании закона сохранения импульса, так как время разрыва мало.

Изобразим на чертеже (рис.6) векторы импульсов тел системы непосредственно перед и после разрыва. Запишем закон сохранения импульса в векторной форме: υ=m₁υ₁+m₂υ₂. Ось х направим горизонтально, ось у – вертикально, угол между вектором mυ₁ и осью х обозначим . Проецируем векторные величины на оси х и у:

Рис. 6

Решив систему уравнений, получим:

м/с;

; к горизонту.