- •1. Исследование относительного движения материальной точки
- •2. Применение общих теорем динамики
- •2.1. Общие замечания
- •2.2. Теорема о движении центра масс механической системы
- •2.3. Теорема об изменении кинетического момента
- •3.Применение методов аналитиЧеской Механики к анализу движениЯ механиЧеских систем
- •3.1. Связи и виртуальные перемещения
- •3.2. Общее уравнение динамики
- •3.3. Уравнения Лагранжа II-го рода
- •3.4. Пример составления уравнений движения системы с двумя степенями свободы.
- •4. Определение реакций в опорах вращающегося тела
- •4.1. Метод кинетостатики
- •4.2. Определение реакций в опорах вращающегося тела
- •5. Исследование положений равновесия механических систем
- •5.1. Условия равновесия механических систем
- •5.2. Устойчивость равновесия
- •Пример определения положений равновесия и исследования их устойчивости
- •6. Исследование малых колебаний механических систем
- •6.1. Дифференциальные уравнения малых колебаний
- •6.2. Определение частот и форм собственных колебаний
Пример определения положений равновесия и исследования их устойчивости
Рассмотрим механическую систему, состоящую из трубки AB, которая стержнем OO1 соединена с горизонтальной осью вращения, и шарика, который перемещается по трубке без трения и связан с точкой A трубки пружиной ( рис. 5.2 ). Определим положения равновесия системы и оценим их устойчивость при следующих параметрах: длина трубки l2= 1м , длина стержня l1 =0.5 м . длина недеформированной пружины l0 = 0.6 м , жесткость пружины c = 100 Н/м. Масса трубки m2 = 2 кг , стержня - m1 = 1 кг и шарика - m3 = 0.5 кг. Расстояние OA равно l3 = 0.4 м .
Рис. 5.2.
Запишем выражение для потенциальной энергии рассматриваемой системы. Она складывается из потенциальной энергии трех тел, находящихся в однородном поле силы тяжести, и потенциальной энергии деформированной пружины.
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести равна произведению веса тела на высоту его центра тяжести над плоскостью, в которой потенциальная энергия считается равной нулю. Пусть потенциальная энергия равна нулю в плоскости, проходящей через ось вращения стержня OO1 , тогда для сил тяжести
Для силы упругости потенциальная энергия определяется величиной деформации
.
Найдем возможные положения равновесия системы. Значения координат в положениях равновесия есть корни следующей системы уравнений.
( 5.5 )
Подобную систему уравнений можно составить для любой механической системы с двумя степенями свободы. В некоторых случаях можно получить точное решение системы. Для системы ( 5.5 ) такого решения не существует, поэтому корни надо искать с помощью численных методов .
Решая систему трансцендентных уравнений ( 5.5 ), получаем два возможных положения равновесия :
Для оценки устойчивости полученных положений равновесия найдем все вторые производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам и по ним определим обобщенные коэффициенты жесткости.
Тогда для первого положения равновесия
Воспользуемся критерием Сильвестра
Для второго найденного положения равновесия
Таким образом, первое положение равновесия устойчиво, второе - неустойчиво.
6. Исследование малых колебаний механических систем
6.1. Дифференциальные уравнения малых колебаний
Для составления дифференциальных уравнений колебательного движения и определения собственных частот механических систем удобно воспользоваться выражениями для кинетической и потенциальной энергии системы, записанными как функции обобщенных координат и скоростей.
Кинетическая энергия механической системы в общем случае является функцией обобщенных координат и скоростей. Если связи, наложенные на систему, являются стационарными, то кинетическая энергия может быть представлена в виде квадратичной формы обобщенных скоростей
где - обобщенные коэффициенты инерции.
Для линейных механических систем коэффициенты являются постоянными. Если, при исследовании малых колебаний они принимаются равными их значениям в положении равновесия. Обобщенные коэффициенты инерции симметричны относительно нижних индексов, т.е..
Потенциальная энергия в окрестности положения равновесия можно представить в виде квадратичной формы обобщенных координат
где - обобщенные коэффициенты жесткости.
Обобщенные коэффициенты являются постоянными числами, которые могут быть определены непосредственно из разложения потенциальной энергии в ряд или по значениям вторых производных от потенциальной энергии по обобщенным координатам в положении равновесия:
Если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергии подставить в уравнения Лагранжа II-го рода, то получим систему из s линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
( 6.1 )
Для механической системы с двумя степенями свободы эта система имеет следующий вид
( 6.2 )
Обобщенные координаты, в которых кинетическая и потенциальная энергия принимают канонический вид
называются нормальными координатами. В этих координатах система (6.1) распадается на s независимых дифференциальных уравнений
Кроме потенциальных ( консервативных ) сил, которые связаны с потенциальной энергией системы, могут действовать неконсервативные силы. К таким силам относятся силы сопротивления, которые могут иметь различную природу и различным образом зависеть от обобщенных скоростей. В том случае, если они пропорциональны скоростям, уравнения движения системы остаются линейными. В них появляются только лишь дополнительные члены, пропорциональные обобщенным скоростям
( 6.3 )
или для системы с двумя степенями свободы
( 6.4 )
Если определены коэффициенты и, то по их значениям можно найти собственные частоты и формы колебаний механической системы и построить частотные характеристики.