Расчетно-графическая работа №3. Вариант 5

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра теоретической механики

Расчетно-графическая работа №3

«Динамика точки»

1064 03 05 07 000

Выполнил: студент группы ИИТ-137

Зинатуллин И.Р.

Проверил: профессор Терешин В.Г.

УФА 2007

Задание №1(Д1). Интегрирование дифференциальных

уравнений движения материальной точки,

находящейся под действием постоянных сил.

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течение τ с. Его начальная скорость v_А. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

В точке В тело покидает плоскость со скоростью v_В и попадает со скоростью v_C в точку С плоскости ВD, наклонённой под углом β к горизонту, находясь в воздухе Т с.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Данные:

α	vА, м/с	l, м	τ, с	β
300	0	9,8	3	450

Определить f и v_C.

Решение:

Составим дифференциальное уравнение движения тела на участке АВ:

mx₁=Σ X_i1; mx₁=G∙sin α - F;

F=f∙N; N=G∙cos α;

mx₁=G∙sin α - f∙G∙cos α , или

x₁=g∙sin α - f∙g∙cos α ; =>

x₁=g(sin α - f∙cos α )t+C₁;

x₁=[g(sin α - f∙cos α )/2]t²+C₁t+C₂.

При t=0 x₁₀=0; x₁₀=0, значит

x₁₀=C₁; x₁₀=C₂; =>

C₁=0; C₂=0.

Тогда

x₁=g(sin α - f∙cos α )t;

x₁=[g(sin α - f∙cos α )/2]t².

Для момента τ, когда тело покидает участок АВ

x₁=v_В; x₁=l;

v_В= g(sin α - f∙cos α )τ; l=[g(sin α - f∙cos α )/2]τ²,

откуда v_В=2∙l /τ, т.е. v_В≈6,5 (м/с).

Составим дифференциальное уравнение движения тела на участке ВС:

mx=0; my=G.

При t=0 x₀=0; y₀=0; x₀=v_B∙cos α; y₀=v_B∙sin α.

Дважды проинтегрировав эти дифференциальные уравнения, получим:

x=С₃; y=gt+С₄;

x=C₃t+C₅; y=gt²/2+C₄t+C₆.

Тогда

x₀=С₃; y₀=С₄;

x₀=С₅; y₀=С₆.

Значит

С₃=v_B∙cos α; С₄=v_B∙sin α;

С₅=0; С₆=0.

x=v_B∙cos α; y=gt+v_B∙sin α;

x=v_B∙cos α∙t; y=gt²/2+v_B∙sin α∙t.

Уравнение траектории имеет вид:

y=gx²/(2v_B²cos²α)+x tg α.

Т.к. β=45⁰, то в момент падения тела h=d, т.е. x=y:

y=x,

y=gx²/(2v_B²cos²α)+x tg α.

Решением этой системы будет

x=2,7,

y=2,7.

Из уравнения y=gt²/2+v_B∙sin α∙t, найдем время полета Т:

gT²/2+v_B∙sin α∙T-y=0;

gT²/2+v_B∙sin α∙T-2,7=0,

откуда Т≈0,48(с). _____

v_C=√x²+y² ;

______________________

v_C=√( v_B∙cos α)²+( gT+v_B∙sin α)²,

откуда v_C≈9,7(м/с).

С помощью теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки найдем коэффициент трения f:

mv_B²/2-mv_A²/2=Σ A_i=-f∙G∙cos α∙l+ G∙l∙sin α;

mv_A²/2=0.

mv_B²/2=-f∙G∙cos α∙l+ G∙l∙sin α.

Выразим f:

f=tg α-v_B²/(2∙g∙l∙cos α).

f=0,33.

Ответ: f≈0,33, v_C≈9,7(м/с).

Задание №2(Д6). Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки.

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости. Найти скорость шарика в положениях В и С и давление N_C шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь.

Данные:

m, кг	vA, м/с	, с	R, м	f	α, град
0,1	8	1,5	2,0	0,20	30

Решение:

С помощью теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки определим v_B и v_C:

mv_B²/2-mv_A²/2=Σ A_i=-f∙N∙l, где l-длина участка АВ;

l=v_A∙ -aτ²/2, где а –ускорение.

Ускорение можно определить из выражения:

m∙a=f∙N=f∙m∙g, откуда a=f∙g.

Подставив всё в первоначальное выражение, получим:

mv_B²/2-mv_A²/2=-f∙m∙g(v_A∙τ-f∙g∙τ²/2);

v_B²/2-v_A²/2=-f∙g(v_A∙τ-f∙g∙τ²/2);

v_B²=v_A²- 2∙f∙g∙τ∙v_A+()²=(v_A-f∙g∙τ)²;

v_B=v_A-f∙g∙τ, откуда v_B≈5,1(м/с).

mv_С²/2-mv_В²/2=Σ A_i=G∙R-G∙R∙cos α=G∙R(1-cos α);

v_С²-v_В²=2∙g∙R(1-cos α);

v_С²=2∙g∙R(1-cos α)+v_В²;

_______________

v_С=√2∙g∙R(1-cos α)+v_В², откуда v_С≈5,6(м/с).

Для определения N_C используем принцип Даламбера:

G+N_C+Ф=0;

Ф=Ф_n+Ф_τ.

Сумма проекций сил G, N_C и Ф на ось x должна быть равна нулю:

N_C+G∙cos α-Ф=0;

N_C=Ф-G∙cos α=mv_C²/R-G∙cos α, откуда N_C≈0,72(H).

Ответ: v_B≈5,1(м/с), v_С≈5,6(м/с),N_C≈0,72(H).