Анализ точности системы автоматического управления

Одним из показателей качества САУ является точность, которая определяется величиной ошибки e(t) в различных режимах работы системы, Однако из-за сложности определения e(t) в любой момент времени точность принято оценивать по величине установившейся ошибки

.

Поведение системы изучается при подаче управляющего воздействия g(t)=g₀ 1(t), изображение которого:

(6)

Определение установившейся ошибки:

Установившаяся ошибка системы согласно теореме о конечном значении преобразования Лапласа вычисляется по формуле:

(7)

где ;

- передаточная функция системы относительно ошибки.

(8)

Подставляя (8) в (7) и учитывая (6) найдем выражение для установившейся ошибки

(9)

В зависимости от наличия установившейся ошибки в системе различают статические и астатические САУ.

Статическими называют такие САУ, в которых регулируемая величина при различных постоянных внешних воздействиях на объект принимает по окончании переходного процесса различные значения, зависящие от величины внешнего воздействия.

Астатическими называют такие САУ, в которых при различных постоянных значениях внешнего воздействия на объект управления отклонение регулируемой величины от требуемого значения по окончании переходного процесса становится равным нулю.

Для астатической системы передаточную функцию всегда можно представить в виде:

,

где 1,2,… порядок астатизма системы (число нулевых корней), а не содержит нулевых корней.

Вычислим установившуюся ошибку для объекта, заданного выражением (1) и регуляторов:

- для ПИ-регулятора

;

- для И-регулятора

;

- для П-регулятора

.

Подставив выражения передаточных функций в (5), получим е_уст для различных регуляторов:

Для ПИ и И-регулятора , то есть система астатическая.

Для П-регулятора .

Следовательно, при ступенчатом воздействии система является астатической, если ее передаточная функция содержит хотя бы одно интегрирующее звено. Поэтому с точки зрения точности системы с И и ПИ-регуляторами предпочтительнее системы с П-регулятором.

Таким образом, требования к САУ по устойчивости и точности противоречивы. Задачей синтеза САУ является выбор таких параметров, которые при выполнении условий устойчивости обеспечивали бы заданную точность системы.

Интегральная оценка качества

Интегральная оценка качества относится к аналитическим методам исследования качества системы и дает общую оценку скорости затухания и отклонения управляемой величины в совокупности, без определения данных параметров в отдельности.

Простейшей интегральной квадратичной оценкой является оценка вида

,

где е(t)=g(t)-y(t) - ошибка системы; g(t) - задающее воздействие; y(t) - регулируемая величина.

Если е(t) имеет постоянную составляющую в виде установившегося значения e_уст, то интеграл J₀ будет расходящимся, поэтому в качестве ошибки берут динамическую ошибку системы e₁(t), т.е. отклонение регулируемой величины y(t) от ее установившегося значения:

e₁(t)= y_уст -y₁(t)= g(t)- e_уст -y(t)= e(t)- e_уст .

Интегральная квадратичная оценка может быть определена по изображению ошибки:

.

(10)

Для практических целей более удобной является формула Релея, которая получается заменой р (10) на jω:

.

(11)

Если подынтегральное выражение представить в виде

где

A(jω)=a0(jω)n+ a1(jω)n-1+…+ an-1(jω)+ an ;

(12)

B(jω)= b0(jω)2n-2+ b1(jω)2n-4+…+ bn-2(jω)2+ bn-1 ,

(13)

то интеграл (10) будет вычисляться по формуле

(14)

где

- старший определитель Гурвица;

.

Выбор оптимальных параметров управляющего устройства по минимуму интегральной оценки

При заданной структуре САУ задача выбора параметров сводится к следующему. Необходимо отыскать такие значения изменяемых параметров, при которых квадратичная интегральная оценка становится минимальной.

В системе автоматического управления, исследуемой в лабораторной работе, переменным параметром является постоянная времени интегратора T_u. Все постоянные времени и коэффициенты передачи заданы константами. Следовательно, задача состоит в определении оптимального значения T_{u опт}, при котором J₀=min. В качестве управляемого устройства рассматривается И- или ПИ-регулятор.

Запишем изображения ошибки Е₁(р) при T₁= T₂ :

для И-регулятора

;

для ПИ-регулятора

.

Соcтавим выражение для квадратичной интегральной оценки в виде (11) в случае ПИ-регулятора. Определим полиномы Α(jω) и B(jω) соглаcно уравнениям (12) и (13)

;

(15)

.

(16)

Из выражений (15) и (16) найдем коэффициенты а_i и b_i:

При подстановке данных коэффициентов в (14) получим выражение интегральной квадратичной оценки для ПИ-регулятора:

(17)

Выражение для J₀ в случае И-регулятора получается из (17) как частный случай подстановкой k_п= 0 для И-регулятора:

.

(18)

Искомое значение T_{u опт} при котором квадратичная оценка имеет минимум, найдем, дифференцируя (17) и (18) по T_u и приравнивая производную к нулю. Окончательно имеем

для ПИ-регулятора

;

(19)

для И-регулятора

.

(20)

При схемотехнической и программной peaлизации рассмотренных регуляторов удобнее пользоваться коэффициентом передачи интегрирующего блока, который является обратной величиной по отношению к постоянной времени. В управляющей системе СУЛ-3 суммарный коэффициент передачи интегрирующего блока определяется двумя параметрами: k_u и c_и :

.

Исходя ив выражений (19) и (20), получим значение оптимального суммарного коэффициента передачи интегрирующего блока. При использовании ПИ-регулятора он равен

.

Для И - регулятора оптимальный коэффициент передачи интегрирующего блока составляет

.