Постановка и условия разрешимости задачи управления

Переходные режимы в системе (2), (3) связаны с нарушением материального баланса, обусловленным изменением количества питания F, его состава x_F, величины орошения L или парового потока V.

Управляющие воздействия представляют собой кусочно-непрерывные функции времени или постоянные параметры. Составляющими вектора управления и могут быть величины и составы некоторых потоков, точки ввода питания. Значения вектора и принадлежат заданной выпуклой области U r-мерного евклидова пространства ( ).

Начальные условия (3) и управление и в соответствии с системой (2) задают определенную фазовую траекторию процесса на

i- ступени разделения. Пусть на множестве управлений и и фазовых траекторий x_i, определены функционалы

, (4)

каждый из которых имеет смысл конкретного показателя переходного процесса.

Воздействие возмущений на процесс приводит к изменению концентраций компонентов в смеси, изменению качества разделения. Основные требования к качеству разделения при проектных расчетах подразделяются на индивидуальные и групповые [6] по концентрации одного или нескольких компонентов в продуктах и по доле потерь компонентов с одним из потоков.

Для переходного режима индивидуальные требования к качеству разделения записываются в виде ограничений на значения концентраций заданных компонентов смеси на выходе колонны

,

(5)

где индексы р, s, g, h обозначают номер компонента в смеси, левые и правые части неравенств суть заданные постоянные величины.

Групповые требования к качеству разделения включают в себя ограничения на сумму концентраций заданных компонентов смеси на выходе колонны.

Устранение возникших возмущений с помощью управляющих воздействий требует дополнительных затрат энергии, изменения величин управляющих потоков, что в результате приводит к изменению экономических показателей управляемого процесса в переходных режимах. Значения этих показателей, определенных на множестве управлении u(t) и фазовых траекторий x_i(t) ограничены допустимыми пределами и записываются в виде

(6)

где I_i – i-й показатель экономической эффективности процесса в переходных режимах (переменная составляющая себестоимости, производительность, рентабельность и т. п.).

Постановка задачи управления. Рассмотрим процесс, описываемый системой уравнений (2), (3) в дискретных точках через определенные интервалы времени

0, , 2, …, k, где  - интервал между измерениями параметров процесса.

Каждую координату в неравенствах (5) и показатели (6) в фиксированных точках k представим как функционалы, определенные на множестве траекторий x_i(k) и управлений u (k), полагая управление u (k), внутри интервала k, постоянным. Тогда неравенства (5), (6) в общем виде можно записать следующим образом:

(7)

где r - число показателей переходного процесса; а_m, A_m - заданные допустимые пределы изменения показателей переходного процесса в дискретных точках интервала времени, величины постоянные.

Требуется в каждый фиксированный момент времени k (k = 1, 2, ..., n) построить такое управление u(k), которое удовлетворяет уравнениям (2),(3) и неравенствам (7).

Эквивалентное преобразование задачи.

Введем безразмерные функционалы

(8)

где J_m1 характеризует относительное удаление значения функционала I_m в неравенствах (7) от правой границы A_m, а значение J_m2 - от левой границы a_m.

Условия (7) в безразмерной форме эквивалентны следующим неравенствам:

(9)

Из уравнений (8) при одном и том же управлении u(k), получим равенство

(10)

Тогда из выражений (9), (10) следует, что при

(11)

обязательно

(12)

Справедливо также обратное утверждение: из условий (12) следуют неравенства (11) и (7).

Таким образом, неравенства (7), (11) и (12) эквивалентны. Тогда вместо (7) будем рассматривать, например, неравенства (12). Основная задача управления формулируется следующим образом: найти такое управление , которое удовлетворяет уравнениям (2), (3) и неравенствам

Условие разрешимости задачи дает следующая [2, 7] теорема. Условие

(13)

для процесса (2), (3) является необходимым и достаточным условием существования решения основной задачи управления. ОЗУ имеет множество решений, удовлетворяющих условиям (7). При некорректно заданных ограничениях на управление u(k) и функционалы решения задачи может не существовать. В этих условиях решается вспомогательная задача определения их допустимых значений.

При решении ОЗУ используется алгоритм решения минимаксной задачи, причем для построения одного из управлений u(k) не обязательно находить минимакс функционалов J_S, достаточно выполнить условие (13).

Поиск управления в дискретных точках k осуществляется одним из методов нелинейного программирования, эффективность которого связана с расчетом уравнений процесса (2), (3).