3. После определения всех значений индексов выполняется следующее:
находят такие незагруженные клетки, в которых расстояния, указанные в верхнем правом углу, будут меньше суммы цифровых значений индексов строки и столбца, соответствующих рассматриваемой клетке.
В табл. 11 для клетки А1Б1, сумма индексов будет меньше указанного в ней расстояния (0 + 3<6). Значит, эта клетка не отвечает вышеуказанному условию.
Проверив таким же путем все остальные клетки матрицы, находим клетку А1Б2, где сумма индексов будет больше указанного в ней расстояния. Разность между этой суммой и расстоянием показывает величину экономии, которую можно получить на каждую единицу загрузки, перемещенную в эту клетку.
В табл. 11 в клетке А1Б2 указано расстояние 3. Разность между суммой соответствующих индексов и этим расстоянием составляет (3+4) — 3 = 4.
Это показывает, что на каждую тонну груза, перемещенного в клетку A1Б2, можно получить экономию в расстоянии пере возок 4 км. Другой такой же клеткой будет клетка А1Б4 с разностью между суммой индексов и расстоянием (3 + 3)—4 = 2.
Цифру разности записывают в верхнем левом углу соответствующих клеток и берут в рамку. В табл. И это сделано в клетках А1Б2 и А1Б4. Других таких клеток в матрице нет.
Для дальнейших расчетов выбирают клетку с наибольшим числом в левом углу клетки. В табл. 11 этой клеткой является клетка А1Б2.
Для определения величины загрузки, которую следует проставить в выбранную клетку, для нее строят «контур» — замкнутую линию, состоящую из прямых горизонтальных и вертикальных отрезков, все вершины которой лежат в загруженных клетках (кроме клетки, с которой начинают строить контур). Каждой выбранной клетке может соответствовать только один «контур».
«Контур» строят следующим образом. От выбранной незагруженной клетки ведут прямую линию по строке или столбцу до такой загруженной клетки, которой под прямым углом соответствует еще одна загруженная клетка, и так до тех пор, пока линия не замкнется в исходной незагруженной клетке. Движение при определении «контура» совершается строго под прямым углом, причем в каждой строке и столбце, которые находятся в замкнутой линии, в состав «контура» должны входить две клетки.
В табл. 11 построен контур для клетки A1Б2.
Всем вершинам «контура» попеременно присваивают знаки «—» и «+», начиная с выбранной для начала построения «контура» клетки, которой всегда дается знак «—».
Затем из всех величин загрузок клеток, обозначенных знаком « + », выбирается наименьшая цифра загрузки. Такая загрузка находится в клетке А1Б5 и составляет 10 единиц. Это количество груза отнимают из загрузки, указанной в клетках со знаком «+» и прибавляют к загрузке, указанной в клетке со знаком«—». Полученные цифры записывают в новую матрицу, куда также без изменений переносят загрузку тех клеток, которые не являлись вершинами «контура».
Это сделано в табл. 12, которая является новым вариантом распределения. Теперь с этой новой матрицей производят все операции, которые были описаны выше.
Таблица 12 Улучшенное распределение
Определим индексы во вспомогательных строке и столбце в табл. 12. Затем отыскиваем клетку, где сумма индексов больше расстояния. Такой клеткой в табл. 12 является клетка А3Б3-Записываем в ней в рамке соответствующую разность и строим «контур», вершины которого обозначаем знаками «—» и « + ».
Наименьшая загрузка в клетке со знаком « + » составляет 30. Прибавляем ее к загрузке в клетках со знаком «—» и отнимаем ее от загрузки в клетках со знаком « + ». Вновь полученное распределение записываем в следующую таблицу (табл. 13). В табл. 13 снова находим вспомогательные индексы, а затем просматриваем все незагруженные клетки, чтобы среди них найти ту, для которой сумма двух соответствующих индексов будет больше указанного в ней расстояния. Но в табл. 13 таких клеток нет. Их отсутствие говорит о том, что дальнейшее улучшение плана невозможно и получен оптимальный вариант решения.
Таблица 13 Оптимальное распределение
Если в рассматриваемом примере сравнить объем транс портной работы в тонно-километрах, который был получен в первоначальном распределении (см. табл. 11), где он равнялся 730 ткм, с оптимальным решением (см. табл. 13), где он составляет 660 ткм, то видно, что он снизился почти на 10%.
Не всегда такое оптимальное распределение является единственно возможным. Если в матрице, где записано оптимальное распределение, имеются незагруженные клетки, для которых разность между суммой индексов и расстоянием оказывается равной 0, то можно получить и другие оптимальные варианты распределения. Это делается путем построения «контура»"для клетки с нулевой разностью и соответствующих перемещений всей наименьшей загрузки или части этой загрузки по «контуру»-Эти варианты будут тоже оптимальными, т. е. сумма тонно-километров останется минимальной, но закрепление потребителей за поставщиками будет иное.
В табл. 13 для клетки А2Б4 соответствующая разность равна 0. Значит, можно дать другие оптимальные закрепления потребителей за поставщиками при всех тех же исходных данных, например, так, как это сделано в табл. 14. Легко подсчитать, что здесь количество тонно-километров тоже составляет 660.
Таблица 14 Второе оптимальное распределение
Возможность получить в некоторых случаях одинаковые по сумме тонно-километров, но различные по закреплению оптимальные решения может быть использована в практической работе.
В основу решения может быть положено не только получение минимума тонно-километров. Критерием оптимальности можно, в зависимости от конкретных условий, избрать достижение минимума стоимости перевозок. Тогда в верхних правых углах клеток матрицы проставляют стоимость перевозок между пунктами. Если нужно найти минимум затрачиваемого времени на перевозки, тогда, соответственно, указывают время перевозки между пунктами и т. д.
С целью уменьшения трудоемкости решения рекомендуется:
писать матрицу на плотной бумаге;
все исходные данные (наименование поставщиков, потребителей, расстояния между ними, потребность в грузе и наличие груза) писать чернилами;
3) все остальные операции (предварительное распределение, передвижение загрузки по строкам и столбцам, индексы во вспомогательных клетках, цифры, разностей, ломаные линии — «контуры») писать карандашом;
после обработки каждого варианта распределения не переписывать таблицу заново, а стирать резинкой старые, изменяющиеся цифры и на их место заносить карандашом новые;
окончательное решение, т. е. оптимальное распределение, записать в таблицу чернилами.
Необходимо отметить, что наряду с модифицированным распределительным методом, транспортная задача может быть решена и другими методами, например, методом разрешающих слагаемых А. Лурье — Ю. Олейника, дифференциальных рент А. Брудно и рядом других.
Имеются также различные способы первоначального распределения, которые могут значительно снизить трудоемкость решения.
Практика решения задач показала, что без помощи электронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ) задачи размером тxп<= 500, вручную решаются при наличии определенного навыка за 2—3 часа, а задачи, размером тхп <=2000— за несколько дней.