Лекция №8. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов. Векторное произведение двух векторов.

Определение: Три некомпланарных вектора , и , приведенные к общему началу, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки (Рис. 1) и левую, если по часовой (Рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется такой вектор (Рис. 1), который

1. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. , где  - угол между векторами и ;

2. перпендикулярен векторам и , т. е. ;

3. направлен так, чтобы тройка векторов была правой.

Векторное произведение обозначается или .

Следует запомнить, что в результате векторного произведения двух векторов получается вектор.

Свойства векторного произведения

1. При перестановке множителей векторное произведение меняет направление на противоположное, сохраняя модуль .

2. Сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю .

3. Распределительное свойство .

4. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. , если , либо , либо . В частности .

Выражение векторного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора и . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены:

или .

Полученную формулу можно записать еще короче , так как правая часть предыдущего равенства соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Приложения векторного произведения

Нахождение площади параллелограмма и треугольника.

Согласно определению векторного произведения векторов и : т. е. площадь параллелограмма .

Рис. 3

Площадь треугольника - .

Определения момента силы относительно точки

Пусть точка А твердого тела неподвижно закреплена, а в точке B (Рис. 4) приложена сила . При этом возникает вращающий момент, численно равный - площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Рис. 4

Вектор - представляет собой момент силы относительно точки А.

Задачи

Задача 1. Раскрыть скобки и упростить выражение .

Решение: Используя свойства векторного произведения (формулы 4, 5), получаем ,

т. к. , , , .

Задача 2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где - единичные векторы, образующие угол .

Решение:

, т. к. , ,

Задача 3. Найти векторное произведение векторов и .

Решение: По формуле (7) имеем

Задача 4. Найти площадь треугольника, координаты вершин которого известны: , , .

Решение:

Р ассмотрим векторы и . Площадь треугольника ABC есть половина площади параллелограмма, построенного на векторах и .

, .

Найдем проекции векторов и на координатные оси:

,

По формулам (7) для векторного произведения векторов найдем, что