Лекция № 7 Скалярное произведение двух векторов.

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения: .

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию на него другого.

В результате скалярного умножения двух векторов получается число, скаляр, а не новый вектор.

Рис. 1

Знак скалярного произведения зависит от угла между векторами.

Замечание. В частности, , если или .

, если  - острый угол;

, если  - тупой угол;

, если

Свойства скалярного произведения

1. - переместительный закон

2. - сочетательный закон

3. - распределительный закон

4. 

5. или

Если векторы коллинеарны, то или , а .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Определение: Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Пусть заданы два вектора , , тогда

Замечание.

Если , угол  - острый,

, угол  - тупой.

Приложения скалярного произведения

Угол между векторами: .

Угол между векторами в координатной форме:

Определение: Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю: или

Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором .

или

Проекция произвольного вектора на какую – нибудь ось u определяется формулой , - единичный вектор, направленный по оси u.

Замечание.

Если даны углы , , , которые ось u составляет с координатными осями, то и для вычисления проекции вектора на ось u служит формула:

Рис. 2

Если вектор изображает перемещение материальной точки под действием постоянной силы (Рис. 3), то работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Рис. 3

Работа силы: .

Задачи

Задача 1. Найти скалярное произведение векторов и , если .

Решение: Имеем (используем свойства скалярного произведения – формулы (5), (6), (7)). По формулам (2) и (9), получаем , ,

Задача 2. Даны точки .

Вычислить .

Решение: Найдем координаты векторов .

.

- противоположен вектору , следовательно, . Аналогично .

; .

По формуле (10) найдем

.

Задача 3. Вычислить угол, образованный векторами и .

Решение: Используя формулу (11'), получаем

Задача 4. Даны векторы и . Найти и .

Решение: Используя формулу (13), получаем

Задача 5. Дан вектор . Найти его проекцию на ось u, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение: Т. к. ось u составляет с координатными осями равные острые углы, т. е. , то .

Но , и т. к. в этой сумме все слагаемые между собой равны, то ; ; , тогда (знак плюс перед корнем взят потому, что по условию углы , ,  - острые, значит косинусы их положительны). Т. к. по условию , , , то по формуле получаем .