Связь метода Галёркина и Релея-Ритца.

Существует утверждение: всегда имеется метод Галёркина, соответствующий некоторому вариационному методу, а именно, методу Релея-Ритца. Обратное неверно. Приближённое решение, найденное по методу Релея-Ритца, всегда приближается к точному либо верхним, либо нижним пределом. Это справедливо и для метода Галёркина. AU=f (1), А=А^т – положительно определённый. Решение (1) эквивалентно минимизации функционала F(U) = (AU,U) – 2(F,U) (2). Ищем решение по методу Релея-Ритца U_a(x) = {j=1,n}a_j_j(x) (3). _j должны быть элементами наинизшего порядка полной системы функций, и они должны быть линейно независимыми. Подставим (3) в (2), получим: F(U) = {j,k=1,n}(A_j,_k)a_ja_k – 2{j=1,n}(_j,f)a_j (4). F(U_k)/a_k = 0, k=1,…,n (5). Из (4) в соответствии с (5) следует: F(U_a)/a_k = 2{j=1,n}(A_j,_k)a_j – 2(_k,f) = 0 => {j=1,n}(A_j,_k)a_j = (_k,f) (6), k=1,…,n. Получили СЛАУ.

При решении задач, допускающих соответствующую вариационную форму, свойства сходимости для метода Релея-Ритца распространяются на метод Галёркина. Пусть дано (1), тогда решение эквивалентно минимизации функционала (2). Определим энергетическое скалярное произведение, связанное с оператором А: [U,V] = (AU,V) (7). Обозначим U_e точное решение (1). F(U) = [U,U] – 2[U_e,U] (8); F(U) = [U–U_e,U–U_e] – [U_e,U_e] (9); F(U) = ||U–U_e||²_A – ||U_e||²_A (10). ||U||²_A конечна, если оператор А положителен и ограничен снизу, причём правая часть (1) должна иметь конечную норму. А положителен и ограничен снизу, если (AU,U)  ² ||U||²₂ ,  – const. Построим последовательность функций {U_k}. Эта последовательность будет минимизирующей, если lim{k->}F(U_k) = d (11), где d – наибольший нижний предел F(U). Любая последовательность, удовлетворяющая (11), сходится по энергии к решению (1). Сходимость по энергии означает, что U_k сходится к U_e, если ||U_k – U_e||_A -> , при к-> (12). Метод Релея-Ритца позволяет получить последовательность функций U_k, сходящихся по энергии к U_e, при условии, что U_e есть решение с конечной энергией. U_a = {j=1,n}a_j_j(x), пробные функции _j должны удовлетворять некоторым условиям: 1) последовательность ₁, …,_n должна быть полна по энергии, 2) она должна быть линейно независимой. Решение Релея-Ритца совпадает с решением Галёркина для уравнения (1). Для классической задачи, характеризующейся уравнением типа (1), свойства сходимости, соответствующие методу Релея-Ритца, соответствуют методу Галёркина.