- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •Раздел 1. Зачеты Зачет № 1. Элементы теории множеств
- •Зачет № 2. Математические понятия и определения
- •Зачет № 3. Математические предложения
- •Зачет № 4. Математические доказательства. Текстовая задача
- •Зачет № 5. Элементы теории чисел
- •Зачет № 6. Элементы теории величин
- •Зачет № 7. Элементы теории геометрии
- •Раздел 2. Задачи и упражнения Понятие множества
- •Отношения между множествами
- •Пересечение и объединение множеств
- •Разность множеств
- •Декартово произведение множеств
- •Математические понятия
- •Математические предложения
- •Математические доказательства
- •Текстовая задача
- •Элементы теории чисел
- •Элементы теории величин
- •122º. Имеются два куска проволоки. Каким образом можно сравнить их
- •Элементы теории геометрии
- •Раздел 3. Контроль знаний студентов Самостоятельная работа по теме «Элементы теории множеств»
- •Самостоятельная работа по теме «Элементы теории чисел»
- •Итоговая контрольная работа
- •Раздел 4. Самостоятельная работа студентов Мультимедийная презентация
- •Цель создания презентации
- •Темы мультимедийных презентаций:
- •Требования к презентации
- •Инструкция по созданию мультимедийной презентации
- •Критерии оценивания презентации
- •Реферат
- •Темы рефератов
- •Инструкция по оформлению реферата
- •Критерии оценивания реферата
- •Литература Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Приложения
- •Рыбинск
- •Для заметок
Математические предложения
62º. Среди данных предложений укажите высказывания и определите их
значения истинности:
а) 63 : (17 – 8) = 42 : 6; б) (45 – 15) : 6 > 17;
в) существуют четные числа;
г) любое натуральное число делится на 5;
д) жизнь прекрасна и удивительна;
е) среди четных чисел есть простые;
ж) множество студентов группы конечно.
63º. Найдите значения истинности следующих высказываний:
а) пересечением множеств А ={a, b, c, d, e} и В = d, e, f, k} является
множество С = {d, e, k};
б) А \ Ø = А;
в) 1,4 N;
г) хотя бы один студент группы является активистом;
д) любой студент группы – отличник;
е) яблоня – хвойное дерево.
64º.Можно ли считать высказывательными формами следующие записи:
а) 5х + 12 = 7х; б) х2-2х; в) 7*4 +2 = 30;
г) х – кратно 2; д) х > 2;
ж) произведение двух чисел равно 32;
з) сумма х и у равна 60; и) функция у = х2.
65. Найдите множество истинности высказывательной формы
12у – 18 ≤ 3у, если
1) у N; 2) у R; 3) у {-4, -2, 0, 2, 4}.
66. На множестве N задана высказывательная форма
А(х): «Число х кратно 3».
а) Составьте высказывания А(15), А(14), А(1122), А(557).
б) Найдите их значение истинности.
67º.Какие из слов: а) лампа, б) стол, в) пить, г) лаять, д) утюг, е) книга,
ж) шить, з) сумка, и) зеркало –
принадлежат множеству истинности высказывательной формы
К(х): «В слове х – четыре буквы», рассматриваемой
1) на множестве существительных;
2) на множестве глаголов;
3) на множестве прилагательных;
4) на множестве слов в словаре С.И.Ожегова.
68º.Даны высказывания:
А: «сегодня идет снег», В: «15 3»,
С: «П.И.Чайковский написал 10 опер», D: «17 : 2 = 9».
Образуйте составные высказывания и определите их значения
истинности:
а) ͞А; б) А ˅ В; в) В ˅ D; г) А => D; д) А ˅ ;
е) А ˅ В; ж) ͞А ˄ В; з) А ˄ С.
69. Записать высказывания на языке логики и определить их значение
истинности:
а) Идет дождь или кто-то не выключил душ;
б) Вечером будет туман и Сергей останется дома или должен будет
надеть плащ;
в) Число 111 делится на три, но оно не делится на 10;
г) Неверно, что квадрат – параллелограмм;
д) 5 ≥ - 3;
е) 2 ≤ 3 < 5;
ж) 7*4 равно 27 или 28.
70º.Даны высказывания:
Р: «Треугольник АВС – равнобедренный», Q: «В треугольнике АВС
высоты равны». Образуйте высказывания, имеющие форму:
а) Р ˅ Q; б) Q ˄ Р; в) Р; г) Q.
Какие из этих высказываний истинны, а какие ложны?
71. Сформулируйте предложения, которые являются отрицанием данных
высказываний, и определите их значение истинности:
а) А: «23 7»; б) В: «5 + 3 = 8»;
в) F: «257 – четное число»;
г) К: «2 = 2»; д) Е: «5*3 ≠ 35»; е) D: «2 < 3».
72º. Найдите в предложениях кванторы, определите вид и назовите
синонимы:
а) существуют равносторонние треугольники;
б) хотя бы в одной из групп первого курса есть медалисты;
в) все кустарники являются растениями;
г) каждое натуральное число является целым.
73º. Найдите в предложениях высказывательные формы и укажите
множества,
на которых заданы перечисленные высказывательные формы:
а) найдите такое натуральное число х, что х < 3;
б) в любом треугольнике стороны равны;
в) некоторые натуральные числа являются однозначными;
г) каждое растение травянистое;
д) всякое число имеет делитель 1;
е) существуют треугольники, в которых одна из высот совпадает с
медианой и биссектрисой.
74. Среди следующих предложений выделите высказывания и составьте
их логическую структуру:
а) 7 < х < 9, х N;
б) существует такое натуральное число х, что 7 < х < 9;
в) любое натуральное число х больше 7 и меньше 9;
г) в треугольнике АВС все стороны равны;
д) существуют треугольники с равными сторонами;
е) в любом треугольнике все стороны равны;
ж) х – однозначное число;
з) некоторые натуральные числа являются однозначными.
75º. Прочитайте следующие предложения и определите их вид:
а) ( n N) n 2; б) ( n N) n 5; в) ( n, m N) n m;
г) ( n N, m N) n m; д) ( х, n N) х = 2 n;
е) ( х, n N) х = 2 n; ж) ( х, n N) х = 2 n + 1;
з) ( х, n N) х = 2 n + 1.
76. Запишите следующие предложения с помощью символов:
а) А(х) следует из В(х); б) В(х) следует из А(х);
в) из С(х) следует Е(х); г) из Е(х) следует С(х);
д) С(х) следует из Е(х); е) Е(х) следует из С(х).
77. Докажите, что каждое из приведенных утверждений ложно:
а) если треугольник равнобедренный, то он равносторонний;
б) если треугольник прямоугольный, то он равнобедренный;
в) если треугольник равнобедренный, то он остроугольный;
г) если треугольник остроугольный, то он равносторонний.
78. Определите, какое утверждение справедливо. Для каждого из них
составьте логическую структуру:
а) если треугольники равны, то их соответственные элементы равны;
б) число х положительно, следовательно, оно натуральное;
в) из того, что х < 5, следует, что х < 2;
г) х кратно 6 следует из того, что х кратно 12;
д) х > у вследствие того, что разность х и у положительна;
е) для равенства двух углов достаточно того, что они вертикальны;
ж) для того, чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо,
чтобы в нем был хотя бы один прямой угол.
79. Определите, какие из предложений находятся в отношении равносильности:
а) произведение чисел х и у положительно тогда и только тогда, когда
х и у - положительные числа;
б) треугольник Х – остроугольный, тогда и только тогда, когда в
треугольнике Х хотя бы один угол острый;
в) число х кратно 10 тогда и только тогда, когда его десятичная
запись оканчивается цифрой «0»;
г) число х кратно 15 тогда и только тогда, когда оно кратно 3 и 5;
д) квадратное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда
дискриминант отрицателен.
80. На множестве Х = {1 ,2, 3,..., 9} заданы высказывательные формы:
А(х): «х > 2», В(х): «х > 2», С(х): «х – однозначное число».
Выясните истинность или ложность предложений:
а) А(х) следует из В(х); б) из А(х) следует С(х);
в) из А(х) следует С(х); г) если С(х), то А(х).
81. В группе имеются два отличника Попова и Смирнов, пять
спортсменов: Попова, Карпова, Смирнов, Голубев, Тетерина. Следует
ли предложение: «Студент группы является спортсменом» из
предложения: «Студент группы – отличник»?
82. Выясните, какие из следующих предложений являются отношением
логического следования, а какие - нет:
а) х + 3 = 0 => х2 – 9 = 0; б) х2 = 4 => х = 2;
в) (х – 1)(х – 2) = 0 => (х – 1)(х – 2)(х – 3) = 0;
г) х < 3 => х < 7; д) х > 4 => х > 2.
83. Выделите условие и заключение в каждой из теорем:
а) сумма двух четных чисел – четное число;
б) если число кратно 8, то оно кратно 4;
в) в ромбе диагонали перпендикулярны.
84. Покажите, что теорема: «Четырехугольник является
прямоугольником тогда и только тогда, когда его диагонали равны»,
состоит из двух теорем. Запишите ее логическую структуру.
85º. Даны высказывательные формы:
А(х): «Четырехугольник х – прямоугольник».
В(х): «В четырехугольнике х диагонали равны».
С(х): «В четырехугольнике х диагонали в точке пересечения делятся
пополам».
D(х): «В четырехугольнике х диагонали взаимно перпендикулярны».
Е(х): «В четырехугольнике х диагональ делит его на два равных
треугольника».
Составьте истинные теоремы.
86. Дана теорема: «Противоположные углы параллелограмма равны».
а) Составьте все возможные виды данной теоремы.
б) Определите их значения истинности.