В 41 одм. Построение доверительного интервала для мат. Ожидания.

В качестве примера построим доверительный интервал для мат.ожидания m величины х. При решении этой задачи воспользуемся тем, что величина m* представляет собой сумму n независимый одинаково распределенных СВ xi и согласно центральной опред. Теореме при достаточно больших n ее закон распределения близок к нормальному. На практике уже при количестве опытов 10, 20 закон распределения M* можно приближенно считать нормальным.

Таким образов имеем право принять гипотезу о нормальном распределении M* Параметры этого закона мат.ожидание n и дисперсия D/n,где Д-дисперсия СВХ значение которого известны. Найдем такую величину , для которой

Учитывая, что закон распределения нормальный, получим

, где -среднее квадратическое

Ф-значение функции нормированного распределения

Из последних 2х уравнений находим значение :

Где arg Ф( ) -такое значение аргумента при котором нормальная функция распределения равна .

Величина -квантильный множитель, определяет для нормального закона число средних квадратических отклонений которые нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания в полученный интервал была равна .

Используя значение , доверительный интервал для мат.ожидания запишем:

В42 одм. Постоение доверительного интервала для дисперсии.

Пусть произведению n независимых опытов над случайной величиной Х с неизвестными параметрами m и D для дисперсии получена несмещенная оценка.

Из формулы (1) видно что оценка Д* представляет сумму n СВ вида:

Эти величины и является независимыми. Т.к. в любую из них входит оценка m* зависящая от всех остальных.

Однако при увеличении n закон распределения суммы приближается к нормальному и при уже может считаться нормальным.

При построении довер. Интервала примем гипотезу о нормальном законе распределения Д*, так несмещенная, то матожидание M[ ]=Д_x

Дисперсию оценки можно опред. по формуле :

Вместо 4 центр. момента в этом выражении можно воспользоваться его оценкой .

Однако точность такой оценки очень невысокая. Для норм. з-на распр-я случ. величины Х выражается через дисперсию.

Чтобы воспользоваться формулой для оценки Д_х^* в нее нужно поставить хотя бы приближенные значения параметра Д_х. Можно воспользоваться например оценкой Д* тогда для норм. з-на получим

В этом случае доверит.интервал для дисперсии СВ Х имеет вид

В43 одм. Статическая проверка гипотез.

Под гипотезой Н будет понимать некоторое предположение об свойствах случайной величины Х

Путем статической проверки устанавливают на сколько данные полученные из n опытов согласуются с высказанной гипотезой,т.е. можно ли на их основаниях принять или отвергнуть гипотезу. Абсолютно достоверное решение относительно рассматриваемой гипотезы получить нельзя. При проверки гипотезы могут быть допущены ошибки 1 и 2 рода.

Ошибка 1 рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность такой ошибки назыв. Уравнением значимости и часто обозначается .При проверке гипотезы величина должна быть выбрана экспериментально.

Ошибка 2 рода состоит в том, что будет принята непрвильная гипотеза. Вероятность такой ошибки часто выражают через .

Для проверки гипотез используют случайную величину полученную по опред. Правилам и называемую статическим критерием. Совокупность значения критерия при котором проверяемую гипотезу отвергают назыв. Критической областью.

Процедура проверки состоит в след.:

1)выбирается критерий Z и рассчитывается его значение исходя из опытных данных

2)устанавливается критическая область К в которую в случае справедливости гипотезы Н значение Z может попасть только с малой вероятностью

3)Если значение Z попало в область К, гипотеза Н отклоняется, в противном случае считают что оснований для отклонения нет.

Критическая область может быть:

-односторонней-когда проверяется условие при или при

-двусторонней-когда проверяются условия при

Критические точки Z_кр ищут исходя из соотн-й:

-для односторонней крит. Обл-ти

-для двусторонней крит. Обл-ти

В44 ОДМ.ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИЙ НОРМАЛЬНЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ.

По независимым малым выборкам из нормальных генеральных совокупностей объемами n₁ и n₂ (n₁<30 и n₂<30) найдены выборочные средние и и выборочные дисперсии D*₁ и D*₂. Генеральные дисперсии неизвестны, но принята гипотеза об их равенстве. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить гипотезу Н₀: М(x₁)=М(x₂) о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) нормальных совокупностей в случае малых независимых выборок при конкурирующей гипотезе Н₁: М(x₁) М(x₂), необходимо вычислить значение критерия по формуле:

и по таблице распределения Стьюдента, исходя из заданного уровня значимости  и числа степеней свободы k=n₁+n₂-2, найти критическую точку z_кр(, k). Если |z|< z_кр(, k) нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀.