1.4. Расчет на прочность статически неопределимой стержневой системы при растяжении-сжатии.

Стержневая система, состоящая из жесткого стержня ВС и двух упругих стержней DC и ВК, а также опорного стержня О, нагружена силой Р₁ = 35 кН (рис 1.6).

Определить коэффициент запаса прочности стержневой системы, если l₁ = 0,5 м, l₂ = 0,2 м, А = 10 см², k = 0,8, материал – дюралюминий Д16 с пределом текучести σ_т = 340 МПа.

При известной площади сечения выполняется проверочный расчет по напряжениям. Величина фактического коэффициента запасагде σ_пред – предельное значение напряжения для заданного материала, σ_max – максимальное рабочее напряжение, возникающее в данной стержневой системе, от приложенных нагрузок. Дюралюминий пластичный материал, поэтому σ_пред= σ_т, следовательно

1.4.1. Уравнение равновесия.

Составим уравнение статического равновесия.(рис 1.7.)

(1)

(2)

(3)

Так как система является статически неопределимой один раз, т.е. W=-1, то для дальнейшего решения применяем уравнение (3), так как реакции опоры О для оценки прочности не нужны. Преобразуем (3), подставляем значения, получим

(4)

Полученное уравнение содержит две неизвестные продольные силы. Составим дополнительное уравнение, которое вытекает из условия совместности перемещений.

10

1.4.2. Уравнения совместности деформаций.

Составим уравнение совместности деформаций (рис 1.8).

В₁В=∆l_BK, CC₁= ∆l_CD. Из подобия треугольников OВВ₁ и OCС₁ следует, что , то есть(5) - уравнение перемещений.

1.4.3. Физические уравнения.

По закону Гука

Подставляем в уравнение совместности перемещений, с учетом длин стержней, соотношений площадей и материалов, получим

, умножим и подставим данные, после вычислений получим N_BK = 0,4 N_CD (6)

1.4.4. Расчет сил в стержнях.

Статическое уравнение (4) и дополнительное преобразованное уравнение (6) совместности перемещений дают систему разрешающих уравнений:

Из решения системы уравнений получим

N_CD=Р₁ ; N_BK=0,4Р₁

1.4.5. Расчет на прочность.

Напряжение в стержнях

11

Видно, что максимальное напряжение возникает в стержне CD:

.

Условие прочности имеет вид

где n – коэффициент запаса прочности. Для деталей n=1,5÷2,5, примем n = 2. Тогда допускаемое напряжение .

Условие прочности для заданной стержневой системы выполняется

12

1.5. Расчет монтажных напряжений в статически неопределимой стержневой системе и оценка прочности.

При сборке стержневой системы (рис. 1.7) обнаружено несоответствие длин стержней (зазор равен ∆). Сборка была произведена путем принудительного совмещения шарниров. Определить напряжение в стержнях после сборки (монтажные напряжения) и оценить прочность при следующих данных:

l₁= 0,5 м; l₂= 0,2 м; k = 0,8;

A=1000 мм²; α=40^о, ∆ = 0,3 мм,

Е=0,7·10⁵ МПа; σ_Т=340 МПа.

1.5.1. Уравнения равновесия.

(1)

Из системы находим

(2)

1.5.2. Уравнение совместности деформаций.

Стержневая система получает некоторые деформации (рис.1.9), которые взаимосвязаны друг с другом.

1.5.3. Физические уравнения.

По закону Гука, удлинения стержней равны

13

гдеl₃=l₄=.

Подставляя значения перемещений в систему уравнений совместных деформаций, получаем

(3)

оттуда в результате преобразований и подстановки получим

(4)

1.5.4. Расчет усилий в стержнях.

Решаем совместно систему уравнений (2) и (4).

Находим силы, действующие в стержнях.

Стержень 1 и 2:

Стержень 3 и 4:

1.5.5. Расчет на прочность.

Определим напряжения в стержнях.

Для стержня 1 и 2:

Для стержня 3 и 4:

Максимальные напряжения возникают в стержнях 1 и 2 σ_max=28,35 МПа.

Условие прочности имеет вид

где n – коэффициент запаса прочности. Для деталей n=1,5÷2,5, примем n =2. Тогда допускаемое напряжение .

14

Условие прочности для заданной стержневой системы выполняется

15