2.3. Определение допускаемой нагрузки

Из условия прочности на растяжение

,

откуда .

Из условия прочности на сжатие

,

откуда .

Допускаемая нагрузка равна меньшей из найденных величин, т.е.

F = min{[F_р], [F_сж]} = [F_сж] = 288 кН.

П р и м е р 2.2. Круглая колонна диаметра d сжимается силой F. Определить увеличение диаметра d, зная модуль упругости Е и коэффициент Пуассона  материала колонны. Р е ш е н и е. Продольная деформация по закону Гука равна

Рис. 2.7

  _z/E = -4F/(d²E).

Используя закон Пуассона, находим поперечную деформацию    4F/(d²E).

С другой стороны,   d/d.

Следовательно, d = 4F/(dE).

П р и м е р 2.3. Определить из расчетов на прочность и жесткость допускаемую силу F, если  = 120 МПа, _с = 1,7 мм,

Рис. 2.8

А₁ = 2А, А₂ = А = 5 см², l₁ = l₂ = l = 1 м, Е = 200 ГПа.

Р е ш е н и е. 1. Определение усилий в стержнях.

Из условия равновесия бруса АС имеем

m_A  , F3a - N₁a  , N₁  3F;

m_B  , F2a - N₂a  , N₂  2F.

2. Расчет на прочность.

Находим напряжения в стержнях ₁  N₁/A₁ = 3F/(2A),

₂  N₂/A₂ = 2F/A.

Как видим, наиболее нагруженным является 2-й стержень, прочность которого предопределяет прочность всей конструкции в целом. Из условия прочности _max = ₂  2F/A находим F_m  0,5A  30 кН.

3. Расчет на жесткость.

Вычисляем деформации стержней

l₁ = N₁l/(EA₁) = 3Fl/(2EA), l₂ = N₂l/(EA₂) = 2Fl/(2EA),

а по ним перемещение точки С. Из подобия треугольников В₁А₁В₂ и С₁А₁С₂ имеем: В₁В₂/А₁В₂ = С₁С₂/А₁С₂ или (l₁ + l₂)/a = (_C + l₂)/3a, откуда _C = 3l₁ + 2l₂ = 9Fl/(2EA) + + 4Fl/(EA) = 8,5Fl/(EA).

Записываем условие жесткости _C = 8,5Fl/(EA)  _C,

откуда F_ж = EA_C/(8,5l) = 20010⁹510^-41,710^-3/(8,51)= 20 кН.

Допускаемая нагрузка из расчета на жесткость получилась меньше, чем из расчета на прочность, поэтому ее и принимаем в качестве окончательной, т.е.

F = min{[F_m], F_ж} = F_ж = 20 кН.

П р и м е р 2.4. Построить эпюры продольной силы, напряжения и перемещения для ступенчатого бруса. Р е ш е н и е. 1. Определение опорной реакции. Составляем уравнение равновесия в проекции на ось z: Zi = 0, -2qa + 2q2a- qa + qa-RE = 0, откуда RE = 2qa. 2. Построение эпюр Nz, z, W.

Рис. 2.9

Э п ю р а N_z. Она строится по формуле

N_z = N_oqz.

Имеем N_B = -2qa, N_C = N_B + 2q2a = 2qa

N_DC = N_C - qa = qa, N_DE = N_DC + qa = 2qa.

Э п ю р а _z. Напряжение равно _z = N_z/A(z). Как следует из этой формулы, скачки на эпюре _z будут обусловлены не только скачками N_z, но также резкими изменениями площади поперечных сечений. Определяем значения _z в характерных точках:

_B = N_B/(2A) = -2qa/(2A) = -qa/A,

_CB = N_C/(2A) = 2qa/(2A) = qa/A;

_CD = N_C/(4A) = 2qa/(4A) = qa/(2A), _DC = N_DC/(4A) = qa/(4A),

_DE = N_DE/A = 2qa/A и строим эпюру _z.

Э п ю р а w. Она строится по формуле

.

Построение ведем от защемления к свободному концу. Находим перемещения в характерных сечениях: W_o = W_E = 0,

W_D = W_o + _/E = (2qa/EA)a = 2qa²/(EA),

W_C = W_D + _/E = 2qa²/EA + (1/2)(1/2 + 1/4)(qa/EA)a =

= (19/8)qa²/EA,

W_max = W_C + _/E = (19/8)qa²/EA + (1/2) )(qa/EA)a =

= (23/8)qa²/EA,

W_B = W_C + _/E = W_C = (19/8)qa²/EA и строим эпюру W.

Рис. 2.10

П р и м е р 2.5. К двум одинаковым стержням приложена сила F. Установить, при каком угле  конструкция будет иметь наименьший вес? Р е ш е н и е. Вес конструкции является функцией угла , т.е. G = G().

Нам необходимо установить такой угол, при котором функция G() принимает минимальное значение. В теории оптимального проектирования она называется целевой функцией.

Для определения веса стержневой системы нужно знать площади сечений стержней. Из условия равновесия узла С находим усилия в стержнях:

Y_i = 0, 2Ncos - F = 0, N = F/(2cos),

а из условия прочности – площади их поперечных сечений:

N/A  , откуда A = N /  = F / (2cos).

Учитывая, что длины стержней l = a/(2sin), находим вес конструкции (целевую функцию):

G = 2Al = Fa/(2sincos) = Fa/(sin2).

Функция G() принимает минимальное значение, когда

sin2 = 1, откуда 2 = 90 и  = 45.

П р и м е р 2.6. Определить диаметр d, а также удлинение участка CD для круглого стержня, нагруженного силой F, принимая во внимание собственный вес. Удельный вес , допускаемое напряжение  и модуль упругости Е материала стержня заданы. Решение.

Рис. 2.11

Для призматического стержня при действии собственного веса и сосредоточенной силы F на свободном конце имеем:

- продольная сила в произвольном сечении

N(z) = F + Az,

• нормальное напряжение в этом же сечении

_z = F/A + z.