2. Центральное растяжение и сжатие
ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ
2.1. Статически определимые системы
Краткая теория с примерами
При центральном растяжении (сжатии) прямолинейного стержня в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – п р о д о л ь н а я с и л а Nz.
С продольной силой связаны н о р м а л ь н ы е н а п р я ж е н и я, которые на достаточном удалении от точек приложения внешних сил |
Рис. 2.1 |
равномерно распределяются по поперечному сечению (рис. 2.1).
z = Nz / A (2.1)
В местах приложения внешних сосредоточенных сил распределение напряжений значительно отличается от равномерного (рис. 2.2). Однако, как показывает опыт, на расстоянии, равном примерно наибольшему из поперечных размеров стержня b, |
Рис. 2.2 |
распределение напряжений становится практически равномерным. Отмеченное свойство выражает принцип Сен – Венана: на достаточном удалении от места приложения сил распределение напряжений практически не зависит от способа приложения сил, а только от их статического эквивалента.
Условие прочности выражается неравенством
max , (2.2)
где = пред / [n] – допускаемое напряжение, [n] – коэффициент запаса прочности, пред – предельное для данного материала напряжение, равное пределу текучести (Т или 0,2) для пластичных материалов или пределу прочности пч для хрупких материалов, т.е.
В инженерных расчетах отклонения от основного неравенства (2.2) допустимы в ту или другую сторону в пределах 5 %.
Различают три вида расчета на прочность:
проверка прочности,
подбор сечения,
определение допускаемой нагрузки.
При растяжении (сжатии) возникают продольные и поперечные деформации, связанные между собой зависимостью (законом Пуассона): , (2.3) |
Рис. 2.3 |
где l/l, b/b, - коэффициент Пуассона, который |
для различных материалов лежит в пределах от 0 до 0,5.
Нормальные напряжения связаны с продольной деформацией законом Гука Е , (2.4)
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга.
Удлинение или укорочение стержня в общем случае (рис. 2.4) определяется интегралом . (2.5)
Рис. 2.4 |
В частном случае, когда Nz = F = const и EA = const (рис. 2.3), l = Nzl / (EA). (2.6) Величины ЕА и С = ЕА/l называются соответственно жесткостью сечения и |
жесткостью стержня при растяжении (сжатии).
Перемещение произвольного сечения z равно изменению длины участка, заключенного между этим сечением и заделкой (рис. 2.4), т.е.
, (2.7)
где - площадь эпюры от защемления до рассматриваемого сечения.
В стержневых системах перемещения узлов определяются через деформации стержней (рис. 2.5). Условие жесткости (2.8) позволяет решать задачи трех |
Рис. 2.5 |
типов, аналогичных расчету на прочность, а именно: проверка жесткости, подбор сечений, определение допускаемой нагрузки.
При упругой деформации в единице объема стержня накапливается энергия (удельная потенциальная энергия)
u = 2/(2E). (2.9)
Энергия, накапливаемая во всем стержне
. (2.10)
Рис. 2.6 |
П р и м е р 2.1. Пространственный кронштейн, состоящий из трех стержней, нагружен силой F. Зная допускаемые напряжения материала стержней на растяжение р = 120 МПа и на сжатие сж = 60 МПа, требуется: |
1) проверить прочность конструкции, если F = 120 кН,
А1 = А2 = 4 см2, А3 = 25 см2;
2) подобрать сечениястержней из двух равнобоких уголков, если F = 480 кН;
3) определить, какой груз может выдержать кронштейн, если А1 = А2 = 10 см2, А3 = 60 см2.
Р е ш е н и е. 1. Определение усилий в стержнях. Из условия равновесия узла С имеем:
Xi = 0, N1sin - N2sin = 0, N1 = N2;
Zi = 0, N3cos - F = 0, N3 = F/cos = 1,25F;
Yi = 0 2N1cos = N3sin, N1 = N3sin/(2cos) = 0,395F.
2. Определение искомых величин.
2.1. Проверка прочности конструкции
Находим напряжения в стержнях:
1 2 N1/A1 = 0,395120103/(410-4) =
= 118,5 МПар = 120 МПа;
3 N3/A3 = 1,25120103/(2510-4) = 60 МПа = сж = 60 МПа.
Как видим, оба условия прочности выполняются, т.е. прочность конструкции в целом обеспечена.
2.2. П о д б о р с е ч е н и й
Из условия прочности на растяжение
,
откуда .
Из условия прочности на сжатие
,
откуда .
Принимаем по ГОСТ 8509-72 (СТ СЭВ 104-74):
- для 1-го и 2-го стержней – 2 уголка 70х70х6 (А01 = 2 8,15 = =16,3 см2);
- для 3-го стержня – 2 уголка160х160х16 (А03 = 2 49,1 =98,2 см2).