Статистический вес, энтропия, микроканоническое распределение.
Статистическим весом называется число микросостояний, реализующих заданное макросостояние.
Ex Игральные
кости. Конфигурация (3 4 5), так что сумма
- аналог полной энергии макросостояния
с
.
Энтропия
.
В фазовом пространстве микросостоянию
соответствует ячейка объема
.
Возьмем две гиперповерхности с энергиями
и
(для каждого
).
Число микросостояний будет пропорционально
объему, заключенному между этими
поверхностями
.
- статистический вес (число состояний
на единичный интервал энергии
).
Рассмотрим систему с постоянной энергией
(замкнутая система). Плотность
будет отлична от нуля только на
гиперповерхности
и равно нулю в остальных точках (фазовая
траектория целиком лежит на этой
поверхности). Кроме того
и
на поверхности постоянно. Этому свойству
удовлетворяет
.
Такое распределение называется
микроканоническим.
Найдем нормировочную константу
.
.
Таким образом
, и
.
Модуль канонического распределения, температура и теплоемкость определяются как:
,
,
.
Задачи:
14. Определить
МКР для а)
частиц идеального газа; б)
независимых линейных классических
осцилляторов.
Решение: а) энергия сохраняется, следовательно
(
- номер проекции,
- номер частицы). Найдем объем
,
соответствующей состояниям с энергией,
меньшей
.
Это, как следует из (1) будет объем
- мерного шара.
NB Объем
-мерного
шара
.
Найдем
.
Рассмотрим интеграл
. Следовательно
.
,
,
В нашем случае в роли
выступает
,
а
,
следовательно:
.
Используя уравнения термодинамики:
сразу получим
,
NB
.
Таким образом, для больших весь объем - мерной сферы заключен вблизи ее поверхности, то есть для расчета энтропии можно брать весь фазовый объем, а не только его часть вблизи поверхности.
б) энергия системы независимых трехмерных осцилляторов сохраняется и равна:
Положим
.
Тогда
.
Статистический вес:
.
Энтропия:
, следовательно
.
NB Заметим, что в силу того, что - велико
.
15. Вывести каноническое распределение Гиббса, взяв в качестве модели термостата примеры из предыдущей задачи.
Решение: Обозначим
- совокупность координат и импульсов
частиц термостата, а
- рассматриваемой системы. Вместе они
образуют замкнутую систему. Чтобы
получить распределение для системы,
нужно проинтегрировать
по координатам и импульсам термостата:
(
- энергия системы).
Подставим
из предыдущей задачи (термостат+система
содержат
частиц,
а сам термостат
)
при
Предел
- каноническое распределение Гиббса
или
.
(В случае с осцилляторами следовало
положить
).
Вероятностные процессы.
16. (Термоэлектронная эмиссия).
Вероятность вылета электрона за время
-
.
Определить вероятность вылета
электронов за время
,
если вылеты электронов - независимые
события и промежуток времени
бесконечно мал (так что два электрона
за это время вылететь не может). Найти
также
,
если за время
вылетит
электронов.
Решение: Разобьем интервал времени
на малые участки
.
Событие (вылет
электронов за время
)
запишем в виде (в в н в н н…в). в –
n штук, н – (N-n).
Вероятность вылета -
,
невылета -
.
Так как все события независимы, то по
теореме умножения вероятностей:
Кроме того, учтем различные
перестановки между в и н . Всего
их будет
,
что увеличит искомую вероятность в
соответствующее число раз (так как
вероятность событий (в в н в н н…в)
и (в н н в н в…н) с одинаковым числом
в и н одинаковы и равны
).
Таким образом:
Устремим к бесконечности и учтем, что
,
,
Тогда получим
Условие нормировки
выполняется автоматически.
NB вероятность
невылета ни одного электрона за время
.
При конечном
и
получаем
:
следовательно
.
17. Идеальный газ состоящий из
молекул, находится в объеме
.
Найти вероятность того, что в объеме
находится
молекул.
Решение: Для одной молекулы
.
Потребуем, чтобы
определенных молекул находились в
(всего
штук). При этом остальные молекулы не
должны там находится. Вероятность
отсутствия молекулы в объеме
.
Таким образом, вероятность того, что
определенных молекул находятся в объеме
,
а остальные отсутствуют ввиду
некорреллированости их движений равны
(вероятность конфигурации
,
(без черты -
,
с чертой -
).
Таким образом,
.
Проверим условие нормировки
(бином
Ньютона)
Среднее число молекул в объеме :
Подставим в (1)
Если
,
то (см. предыдущую задачу)
(распределение Пуассона)
Если
,
то
.
Обозначим
.
Тогда
Таким образом
Константу найдем из условия нормировки:
.
Сравнивая с гауссовским распределением, находим, что
18. (Задача о случайных блужданиях
по одномерной решетке). Вероятность
скачка точки вправо -
,
влево -
.
Определить вероятность того, что за
шагов частица окажется в точке с
координатой
.
Решение: Пусть частица делает
шагов вправо и
влево. Очевидно, что
(1)
событие
- (
букв «вправо» и
и букв «влево»).
Вероятность такого события
.
Всего таких конфигураций
,
причем все они равновероятны. По теореме
о сложении вероятностей искомая
вероятность равна:
где и заданы в (1). Очевидно, что и должны быть одновременно четными, либо нечетными (в противном случае вероятность равна нулю) .
К решению данной задачи
можно подойти несколько иначе. Пусть
-
вероятность того, что в момент времени
(
-
время одного скачка) точка будет иметь
координату
(
-
длина одного шага). Такое событие можно
реализовать двумя способами – либо в
случае, когда в момент времени
точка имела координату
и с вероятностью
прыгнула вправо, либо когда в этот же
момент ее координата была
и затем с вероятностью
прыгнула влево. По теореме о сложении
вероятностей:
.
Считая
,
разложим эти вероятности в ряд Тейлора:
,
,
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем:
.
Вводя обозначения
,
,
получаем т. н. уравнение Фоккера-Планка:
.
Первое слагаемое в этом уравнении
описывает регулярное смещение (очевидно,
при
это слагаемое отсутствует, т. е. ансамбль
таких точек как целое покоится), второе
– т. н. диффузионное движение. Нетрудно
получить решение этого уравнения при
начальном условии
Применяя преобразование Фурье по координате к вероятности:
Получаем для Фурье – образа
:
,
Откуда после интегрирования находим:
(с учетом начального условия
)
Подставляя в последний интеграл и вычисляя его, получаем нормированное распределение:
,
характерная ширина которого
изменяется со временем по закону
,
что характерно для диффузионного
движения (вспомните броуновскую частицу).
Максимум же смещается равномерно со
скоростью
,
что соответствует регулярному сносу.
Если
,
то получается чисто диффузионное
движение (такой процесс называется
винеровским), если же
,
то используя одно из предельных
представлений
-
функции, получаем детерминированное
движение:
.
19. Определить энергию, температуру, энтропию, статистический вес и теплоемкость состояния с полной энергией системы независимых квантовых осцилляторов, считая, что частоты всех осцилляторов одинаковы.
Решение: Энергия одного осциллятора
,
Энергия всей системы равна сумме энергий всех осцилляторов:
,
Таким образом, макросостояние задается
числом
.
В то же время данное
получается различными конфигурациями
целых положительных чисел, сумма которых
равна
:
.
Необходимо найти всевозможные такие
конфигурации. Их число и есть статистический
вес состояния с энергией
.
Запишем данную конфигурацию так
- всего
единиц и
запятых. Очевидно, все конфигурации
можно получить перестановками единиц
и запятых. Всего их
Энтропия:
Температура:
(так как
).
(формула Эйнштейна). Предельные случаи:
а)
б)
20.
частиц могут находиться на двух
энергетических уровнях
.
Найти среднюю энергию, температуру,
энтропию, статистический вес и
теплоемкость.
Решение: Пусть
частиц имеющих энергию
,
а
-
.
Энергия такой конфигурации
откуда
.
Следовательно
.
Кроме того, данное значение энергии
может быть реализовано
способами. Это и будет статистическим
весом состояния с энергией
:
Энтропия:
.
. Таким образом, получаем:
или
,
откуда
.
Предельные случаи
а)
(энергия
системы минимальна)
б)
(полное разупорядочение).
Теплоемкость
.
21. Один интересный метод получения распределения Гиббса.
Рассмотрим сосуд, объемом
,
содержащий
одинаковых частиц идеального одноатомного
газа. Мысленно разобьем его на
одинаковых частей, в каждой из которых
в данный момент будет находиться
частиц (
).
Такую конфигурацию назовем микросостоянием
и введем для нее обозначение
Ввиду тождественности рассматриваемых
частиц указанную конфигурацию можно
реализовать
одинаковым способами, соответствующими
перестановкам частиц внутри каждого
объема. Такую величину назовем
термодинамическим весом данного
макросостояния, а ее логарифм – энтропией
.
Т. к. обычно приходится иметь дело с
термодинамической системой, где все
,
то выражение для энтропии можно записать
приближенно, воспользовавшись формулой
Стирлинга
:
г
де
- вероятность нахождения определенных
частиц в объеме
.
Очевидно, что
.
Вместо
введена энтропия в расчете на одну
частицу
.
Выясним, какой конфигурации чисел
будет соответствовать максимальное
значение удельной энтропии. Трудность
здесь заключается в том, что
не являются независимыми переменными,
а подчиняются условию нормировки
.
В этом случае, согласно методу
неопределенных множителей Лагранжа,
будем исследовать на максимум не
,
а величину
.
Это позволяет учесть условие нормировки,
при этом считая
уже независимыми. Подставляя сюда
и выполняя дифференцирование, получаем
условие максимума:
,
откуда можно заключить, что максимуму
энтропии соответствуют
,
одинаковые для каждого объема. Поэтому,
как следует из условия нормировки
и
.
Это означает, что в состоянии с максимальной
энтропией частицы рассредоточены
равномерно по всему объему сосуда.
Если взять достаточно большое
,
то мы получим континуальный предел.
Тогда вместо вероятностей можно писать
,
где
- плотность распределения частиц по
объему. Для энтропии в этом случае
справедливо представление:
,
т. е. энтропия получается как среднее от логарифма функции распределения.
Однако рассмотренная задача, как и само
понятие «конфигурация», естественно,
нуждаются в обобщении. Дело в том, что
мы рассматривали все частицы как
неподвижные, в то время как в действительности
они движутся с определенными скоростями
и таким образом, конфигурация частиц
будет задаваться уже как
.
Такое обозначение позволяет судить о
количестве частиц в
-й
части в пространстве скоростей с одним
лишь отличием от случая пространственного
распределения – оно не имеет конечного
«объема», т. к. скорость частицы может
принимать любые значения. Однако и здесь
есть определенные ограничения. Дело в
том, что при движении полная энергия
частиц должна сохраняться. Считая для
простоты (обобщение очевидно), что
частицы обладают только кинетической
энергией и, обозначив
- относительное число частиц, обладающих
энергией
,
можно теперь сформулировать задачу
следующим образом. Требуется найти
максимум функции
,
но уже при двух дополнительных условиях
– постоянства величин
и
,
связывающих между собой
.
Умножая последние два выражения на
и
соответственно и прибавляя их к
,
получаем, что мы теперь должны исследовать
на максимум величину
считая все независимыми.
Из условия
находим уравнение:
,
откуда
Вводя обозначение
из условия нормировки, сразу находим
.
Эту величину назовем статистической
суммой, а
(
- абсолютная температура) – модулем
канонического распределения. Полученное
выражение представляет собой распределение
частиц по энергетическим уровням и
называется каноническим распределением
Гиббса:
,
.
Используя , найдем среднюю энергию системы (на одну частицу):
и аналогичным образом энтропию и
свободную энергию
.
.
В случае, если имеются и другие аддитивные,
сохраняющиеся для всей системы величины
(например, число частиц
),
то, выполняя аналогичную процедуру,
получим, что вероятность для системы
иметь значения соответствующих величин
будет равна:
.