Методическое пособие
по курсу
«Статистическая физика»
для студентов четвертого курса специальностей «нанофизика», «радиофизика», «общая физика»
Содержание
1. Основные идеи статистической физики
2. Краткие сведения из теории вероятностей
3. Фазовое пространство. Теорема Лиувилля
4. Статистический вес, энтропия, микроканоническое распределение
5. Вероятностные процессы
6. Каноническое распределение Гиббса
7. Распределение Максвелла – Больцмана
8. Флуктуации аддитивных величин
9. Матрица плотности
10. Большое каноническое распределение
11. Теория теплоемкости твердого тела Дебая
12. Распределения Бозе и Ферми
13. Фотонный газ. Формула Планка. Черное излучение
Основные идеи статистической физики.
Статистическая физика изучает системы большого числа частиц, каждая из которых описывается своим уравнением движения (уравнениями Гамильтона):
(1)
Однако из-за того, что
этих уравнений будет порядка 1023
и решить их все – довольно громоздкая
задача. Кроме того, информация, даваемая
решениями
(2)
оказывается избыточной, так как нужно знать лишь небольшое число термодинамических параметров, характеризующих систему в целом (например, температуру, энтропию, энергию, давление). Поэтому для решения данной задачи нужен иной подход.
В термодинамике принято говорить о так
называемых термодинамических средних
значениях макроскопических параметрах
по времени, так как изначально система
может не находится в термодинамическом
равновесии, т. е. в таком состоянии, когда
значения макроскопических параметров
с большой точностью равны соответствующим
средним. Функция распределения по
энергии для такого состояния
.
Чтобы
построить термодинамическое среднее,
необходимо наблюдать за системой
бесконечное время. Система будет
двигаться в фазовом пространстве
согласно уравнениям (1), описывая
некоторую фазовую траекторию (2),
забивающую все фазовое пространство.
Если через одинаковые промежутки времени
откладывать на этой траектории точки,
то они заполнят все фазовое пространство
с некоторой плотностью зависящей от
и
.
Если
- полное число точек (
),
то число точек в данном фазовом объеме
пропорционально величине этого объема
но
- элементарная вероятность обнаружить
систему в заданном объеме за все время
наблюдения.
(условие нормировки).
Среднее значение величины
.
С другой стороны очевидно, что:
.
Эквивалентность двух средних и устанавливает эргодическая гипотеза.
Цель: Установить вид равновесной
функции распределения
.
Если известно
,
то можно найти все средние значения
микроскопических параметров
Введем также понятие функции распределения по величине F.
Построим гиперповерхности
Тогда
,
- функция распределения по
.
Ниже будет установлена связь между и .
Краткие сведения из теории вероятностей
1) Функция распределения:
Prob(
)
- вероятность обнаружить значение
величины
.
Если
,
то
,
и
- монотонно возрастающая функция.
Вероятность обнаружить значение между
и
:
.
2) Плотность распределения:
- вероятность попадания
в данный интервал
.
Очевидно, что:
(условие нормировки)
Наиболее часто встречается распределение - гауссовское:
По-другому – вероятность
пропорциональна
или
.
Аналогично вводится понятие плотности
для нескольких случайных переменных:
Prob(
)
или
.
Если
и
независимые переменные, то вероятность
обнаружить
не влияет на вероятность
,
поэтому:
N
B
Сложение и умножение вероятностей
удобно пояснить при помощи множеств.
Пусть есть множество равновероятных
событий. Выделим из него два подмножества
А и В. Если площадь всей фигуры на рисунке
равна единице, то
порядка площади, поэтому:
(
- если
и
не пересекаются)
(
- если
и
пересекаются).
Условная вероятность
- вероятность А при условии, что В
произошло очевидно:
Если А и В независимы, то
и
3) Среднее.
Пусть есть случайная величина А принимающая значения Аi. Тогда:
В случае непрерывной переменной .
или
- среднее (математическое ожидание или
первый момент)
4) Среднеквадратичная функция, дисперсия.