Пример решения задачи

Найти пределы:

1) 2) .

1) Так как при подстановке х =  в выражении функции получаем неопределенность , то, используя метод выделения критического множителя (им является «старшая» степень аргумента), получим:

(применяем правила 1) и 3).

2) При подставке х = 1 получим неопределенность . Решаем выделением критического множителя. Для того разложим на множители числитель и знаменатель. (В данном случае использование тождества а² – b² = (a – b)(a + b) и корней квадратного трехчлена.)

Условия задачи 3.

1

а) ; б) ;

2

а) ; б) ;

3

а) ; б) ;

4

а) ; б) ;

5

а) ; б) ;

6

а) ; б) ;

7

а) ; б) ;

8

a) б)

9

а) ; б) ;

10

а) ; б) .

Задача 4. Найти производную функции.

Справочный материал к заданию

Если для функции y = f(x) в точке х₀ существует предел отношения приращения функции  f(x₀) к приращению аргумента  x при условии  x  0, то этот предел называют производной функции y = f(x) в точке x₀ и обозначают f (x₀) или y (x₀) , т.е.

где .

Существуют и другие обозначения производной. Например .

Нахождение производной называют дифференцированием.

Пусть U(x) и V(x) — дифференцируемые функции, C — const, тогда правила нахождения производных имеют вид:

1. (U  V) = U   V ;

2. (U · V) = U · V + U · V ;

3. (CU) = CU;

4. ;

5. [U(V(x))] = ;

6. (U^V) = V· U^V-1 · U + U^V · ln U · V .

Правила дифференцирования основных элементарных функций приведены в следующей таблице:

y = c, c = const	y = 0	y = tgx	y =
y = x,  R	y =  · x-1	y = ctgx	y =
y =	y =	y = arcsinx	y =
y =	y = -	y = arccosx	y = -
y =	y =	y = arctgx	y =
y = ex	y = ex	y = arcctgx	y = -
y = ax	y = ax  lna
y = lnx	y =
y = logax	y =
y = sinx	y = cosx
y = cosx	y = -sinx

Рекомендации к выполнению задания

1. Прежде, чем приступить к нахождению производной, следует при необходимости привести функцию к виду, позволяющему упростить процедуру вычисления производной.

2. Особое внимание следует уделить правилу 5 дифференцирования сложной функции. В частности, любую формулу из таблицы производных можно переписать, заменив аргумент х на функцию U(x).

Например,

или

(U^) =  · U ^‑–1 · U .

Если же

y = U(V( (x))),

то

.

3. Правила 1 и 2 применимы для любого конечного числа функций.

Например,

(U  V  ) = U   V    ;

(U · V · ) = U  · V · + U · V  · + U · V· .