Условия задачи 2.

№ варианта	А1	А2	А3	А4
1	(0, 4, 3)	(1,4,0)	(–1,–1,0)	(4, 1, 2)
2	(1, 2, –1)	(2,0,0)	(0,–1,4)	(1,2,4)
3	(1, –2, 0)	(3,1,5)	(3,–3,1)	(2,–1,0)
4	(2, –1, 3)	(3, 0,2)	(2,0,–3)	(3,2,1)
5	(3, –1, 0)	(–1,1,–3)	(1,–1,5)	(1,0,2)
6	(1, 2, –3)	(0,–1,2)	(3,–1,–1)	(3,2,3)
7	(2,1,3)	(–3,–4,0)	(4,2,1)	(1,–4,1)
8	(3,–2,1)	(1,1,–1)	(–5,–1,3)	(3,4,1)
9	(2,3,–1)	(–4,1,0)	(–1,–1,5)	(2,3,2)
10	(–3,1,2)	(2,–1,4)	(4,1,1)	(2,1,–1)

Задача 3. Найти пределы функций.

Справочный материал к заданию

Основные правила вычисления пределов:

1. .

2. .

3. , если .

4. и

где С = const.

5. .

6. .

Если х < х₀ и х → х₀, то употребляют запись х → х₀ – 0; если х > х₀ и х → х₀ — запись х → х₀ + 0. Числа f(x₀ – 0) и f(х₀ + 0) называются соответственно левым и правым пределом функции f(x) в точке х₀.

Функция f(x) называется бесконечно малой при х → х₀, если .

Бесконечно малые функции f(x) и g(x) называются эквивалентными, если (обозначается f(x) ~ g(x)).

При х → 0 эквивалентными являются следующие функции:

sin x ~ x,	tg x ~ x,	ex – 1 ~ х,	(1 + х) – 1 ~  · x,
arcsin x ~ x,	arctg x ~ x,	ln(1 + x) ~ x, ax – 1 ~ х · ln a,	1 – сos x ~ .

Приведенный ряд остается справедливым, если вместо аргумента x подставить функцию при .

Рекомендации к выполнению задания

1. При вычислении пределов придерживаться следующего плана:

1) Выполнить непосредственную подстановку значения аргумента в выражение функции. Результатом этой подстановки может стать один из вариантов:

а) получен искомый предел;

б) предела функции не существует;

в) получена неопределенность.

При получении предела в пункте а) следует учесть, что

(+) + (+) = +	(+) · (+) = +	(+) · (–) = –
(–) + (–) = –	(–) · (–) = +
С + () = 	С ·  = 	(с учетом знака)
С – () = –

В пункте в) неопределенность может иметь вид: ; ; ( – ); (0 · ); (1^); (⁰); (0⁰).

2) В случае получения неопределенности следует провести тождественные преобразования функции, приводящие к избавлению от неопределенности. При этом используют методы:

а) выделение критических множителей;

б) применение специальных пределов;

в) использование эквивалентных бесконечно малых.

Следует отметить, что неопределенность вида (0 · ) с помощью тождественных преобразований приводится к виду или , а неопределенность ( – ) приводится к виду (0 · ) вынесением общего множителя – =  ·  или «раскрывается» приведением к общему знаменателю и использованию сопряженных выражений. Неопределенности (0⁰), (⁰), (1^) решают с помощью формулы (здесь принимает вид 0 · ).

3) При решении пределов следует знать значения:

пределы функций sin x, cos x, tg x и ctg х при х   ¥ не существуют; так же

если а > 1

и

если 0 < a <1;

использовать 1-й и 2-й замечательные пределы и а также равенства .