Пример решения задачи
Найти пределы:
1)
2)
.
1) Так как при подстановке х = в выражении функции получаем неопределенность , то, используя метод выделения критического множителя (им является «старшая» степень аргумента), получим:
(применяем правила 1) и 3).
2) При подставке х = 1 получим неопределенность . Решаем выделением критического множителя. Для того разложим на множители числитель и знаменатель. (В данном случае использование тождества а2 – b2 = (a – b)(a + b) и корней квадратного трехчлена.)
Условия задачи 3.
1
а)
;
б)
;
2
а)
;
б)
;
3
а)
;
б)
;
4
а)
;
б)
;
5
а)
;
б)
;
6
а)
;
б)
;
7
а)
;
б)
;
8
a)
б)
9
а)
;
б)
;
10
а)
;
б)
.
Задача 4. Найти производную функции.
Справочный материал к заданию
Если для функции y = f(x) в точке х0 существует предел отношения приращения функции f(x0) к приращению аргумента x при условии x 0, то этот предел называют производной функции y = f(x) в точке x0 и обозначают f (x0) или y (x0) , т.е.
где
.
Существуют и другие
обозначения производной. Например
.
Нахождение производной называют дифференцированием.
Пусть U(x) и V(x) — дифференцируемые функции, C — const, тогда правила нахождения производных имеют вид:
1. (U V) = U V ;
2. (U · V) = U · V + U · V ;
3. (CU) = CU;
4.
;
5. [U(V(x))]
=
;
6. (UV) = V· UV-1 · U + UV · ln U · V .
Правила дифференцирования основных элементарных функций приведены в следующей таблице:
y = c, c = const |
y = 0 |
y = tgx |
y
=
|
y = x, R |
y = · x-1 |
y = ctgx |
y
=
|
y =
|
y
=
|
y = arcsinx |
y
= |
y =
|
y
= - |
y = arccosx |
y = - |
y = |
y
= |
y = arctgx |
y
= |
y = ex |
y = ex |
y = arcctgx |
y = - |
y = ax |
y = ax lna |
|
|
y = lnx |
y = |
|
|
y = logax |
y
= |
|
|
y = sinx |
y = cosx |
|
|
y = cosx |
y = -sinx |
|
|
Рекомендации к выполнению задания
1. Прежде, чем приступить к нахождению производной, следует при необходимости привести функцию к виду, позволяющему упростить процедуру вычисления производной.
2. Особое внимание следует уделить правилу 5 дифференцирования сложной функции. В частности, любую формулу из таблицы производных можно переписать, заменив аргумент х на функцию U(x).
Например,
или
(U) = · U ‑–1 · U .
Если же
y =
U(V(
(x))),
то
.
3. Правила 1 и 2 применимы для любого конечного числа функций.
Например,
(U V ) = U V ;
(U · V · ) = U · V · + U · V · + U · V· .