Задачи для самостоятельной работы

1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы: 1) ; 2) ; 3) ?

2. Векторы и образуют угол , причем , . Определить и .

3. По данным векторам и построить векторы , , .

4. В треугольнике даны векторы и . Найти векторы и , где М – середина стороны АВ.

5. Найти орт вектора и его направляющие косинусы.

6. Доказать, что точки , и лежат на одной прямой, причем точка В расположена между А и С.

7. Определить, при каких значениях α и β векторы и коллинеарны.

8. Доказать, что четырехугольник с вершинами , , , есть параллелограмм. Найти длины его сторон.

9. Даны точки , , и . Проверить, что векторы и коллинеарны. Какой из них длиннее другого, во сколько раз и как они направлены?

10. Дан вектор . Определить разложение по этому же базису вектора , параллельного вектору , противоположного с ним по направлению, при условии, что .

11. Заданы векторы и . Проверить, образуют ли они базис, и, если образуют, найти разложение вектора по базису .

12. Даны два вектора и . Найти скалярное произведение этих векторов и косинус угла между ними.

13. Векторы и взаимно перпендикулярны, вектор образует с ними углы, равные . Зная, что , , найти:

1) ; 2) .

14. Дано, что , . При каком значении α векторы и будут перпендикулярны, если ?

15. Найти векторное произведение векторов и и его модуль.

16. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

17. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоты АМ.

18. Даны координаты вершин пирамиды , , и . Найти смешанное произведение векторов , и и определить объём пирамиды, построенной на этих векторах.

19. Установить, компланарны ли векторы , , если:

1) , , ;

2) , , .

20. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.

21. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Аналитическая геометрия

2.1. Прямая на плоскости

Определение 2.1.

Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y Ф(х,у) = 0, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Замечание. Часто удобно использовать параметрические уравнения линии: , где функции непрерывны по параметру t.

1) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

.

2) Частные случаи

Значение коэффициента	Вид уравнения	Положение прямой
С=0	Ax+By=0 y=kx	Проходит через начало координат
A=0	By+C=0 y=b	Параллельна оси Ox
B=0	Ax+C=0 x=a	Параллельна оси Oy
A=C=0	y=0	Совпадает с осью Ox
B=C=0	x=0	Совпадает с осью Oy

3) Векторное уравнение

Пусть М₀(х₀,у₀) – заданная точка прямой, - ненулевой вектор, перпендикулярный прямой (он называется нормальным вектором прямой). Тогда векторное уравнение прямой имеет вид , где М(х,у) – произвольная точка на прямой и вектор - вектор, перпендикулярный вектору нормали. Если переписать уравнение в координатной форме, то получим

4) Уравнение прямой в «отрезках»

Если , то после преобразования общего уравнения имеем , где a и b – соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ox и Oy.

5) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если , то после преобразования общего уравнения имеем , где - угловой коэффициент, b – начальная ордината.

6) Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через две точки А(х₁,у₁) и В(х₂,у₂). Тогда ее уравнение

,

где - направляющий вектор данной прямой.

7) Канонические уравнения прямой

Пусть М(х₀,у₀) – заданная точка прямой, а - направляющий вектор прямой. Тогда канонические уравнения прямой на плоскости имеют вид

.

8) Параметрические уравнения прямой

Рассмотрим канонические уравнения прямой и введем параметр t

. Тогда получим систему, которая дает параметрические уравнения прямой на плоскости

9) Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении

Уравнение прямой, проходящей через точку А(х₁,у₁) под углом φ к положительному направлению оси О_х , имеет вид , где k=tgφ – угловой коэффициент прямой.

10) Угол между двумя прямыми

Если прямые заданы общими уравнениями , то .

Угол φ между прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ определяется из соотношения

.

Угол φ между прямыми, заданными каноническими уравнениями определяется из соотношения .

Данные формулы определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.

11) Условие параллельности прямых

Если прямые заданы общими уравнениями , то они параллельны в случае .

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами , то они параллельны в случае k₁= k₂ .

Если прямые заданы каноническими уравнениями , то они параллельны в случае .

12) Условие перпендикулярности прямых

Если прямые заданы общими уравнениями , то они перпендикулярны в случае .

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами , то они перпендикулярны в случае k₁= - 1/k₂ .

Если прямые заданы каноническими уравнениями , то они перпендикулярны в случае .

13) деление отрезка в заданном соотношении

Если точка (х,у) делит отрезок, ограниченный точками А(х₁,у₁) и В(х₂,у₂) в отношении λ , то ее координаты определяются

.

Координаты точки С , делящей отрезок АВ пополам

.

14) Расстояние между точками

Расстояние d_AB между точками А(х₁,у₁) и В(х₂,у₂):

.

15) Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от заданной точки М₀(х₀,у₀) до заданной прямой с уравнением Ах+Ву+С=0 определяется по формуле

.

Пример.2.1.

На координатной плоскости хОу даны три точки А(0;-4), В(3;0), С(0;6). Найти: 1) длины и уравнения сторон АВ и АС в ΔАВС; 2) уравнение медианы, опущенной из точки А на сторону ВС; 3) длину биссектрисы угла ВАС; 4) длину высоты, опущенной из точки В на сторону АС; 5) площадь ΔАВС.

Решение.

1)

Прямая АС совпадает с осью ординат, следовательно, описывается уравнением х=0.

Найдем уравнение прямой АВ:

2) Координаты мочки М – середины отрезка ВС:

Тогда уравнение медианы АМ примет вид

3) АN – биссектриса угла ВАС, следовательно,

Тогда координаты точки N:

4) Высота рассматриваемого треугольника, опущенная из вершины В, может быть найдена как расстояние от точки В до прямой АС, но как очевидно, в данном случае она совпадает с отрезком ОВ, длина которого равна 3.

5) .

Пример 2.2.

Даны на координатной плоскости xOy вершины A(-1; 1), B(5; 4), C(2; 5) треугольника.

Найти:

1) длину и уравнение каждой из трёх сторон ΔABC;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ;

3) уравнение медианы, проведённой через вершину С;

4) точку пересечения высот треугольника;

5) длину высоты, опущенной из вершины С;

6) площадь ΔABC;

7) систему неравенств, определяющих треугольник АВС.

Сделать чертёж.

1 ) найти длину и уравнение сторон

длины сторон

,

уравнения сторон через две точки:

AB:

3x + 3 = 6y - 6; x - 2y + 3 = 0 общее уравнение AB

-x + 2 = 3y-15; x + 3y - 17 = 0 общее уравнение BC

-4x + 8 = -3y + 15; 4x - 3y + 7 = 0 общее уравнение AC

2) уравнение высоты с D:

так как CD перпендикулярно AB, то

уравнение CD составим через уравнение пучка прямых через C:

y - 5 = -2 (x - 2)

y - 5 = -2x + 4

2x + y - 9 = 0 общее уравнение CD

3) уравнение медианы CE

уравнение CE через две точки C и E:

;

2,5 (x - 2) = 2 (y - 5);

5x - 10 = 4y - 20;

5x - 4y + 10 = 0 общее уравнение CE.

4) точка пересечения высот.

найдём высоту из вершины B:

уравнение

3x + 4y - 31 = 0 - уравнение

т.п. :

т.к : Решение методом Крамера:

5) Длина высоты CD:

найти точку D:

;

6) Площадь треугольника ABC:

.

7) Система неравенств, определяющих треугольник АВС: