Министерство
образования и науки РФ
Государственное
образовательное учреждение
высшего
профессионального образования
ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра ВЫСШЕЙ и ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Лабораторная работа №1
По курсу «Численные методы линейной алгебры»
Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Выполнил: студент гр. 10ЕП1
Айкашев П.В.
Приняла: к.ф-м.н. Кудряшова Н.Ю.
Пенза 2012 г.
Содержание
1. Задание…………………….……………………………………………………3
2. Метод Гаусса-Жордана……….………………………………………………..4
3. Результаты
3.1 Решение модельной задачи……………………………………………5
3.2. Решение задачи заданного варианта…………………………………6
3.3. Решение задачи заданного варианта в maple………………………...8
4. Вывод ……………………………………………………………….…………..9
5. Приложения
5.1 Приложение А……………………………….……………………...10
5.2 Приложение Б…………………………………………………………15
1. Задание
1.1. Написать программу для решения системы алгебраических уравнений методом Гаусса-Жордана. Отладить её на модельной задаче.
М
одельная
задача:
1.2. Используя написанную программу решить данную систему алгебраических уравнений:
1.3.
Вычислить норму вектора невязки
,
где
найденное решение.
1.4. Внести случайную погрешность в элементы матрицы системы и определить решение для изменённой матрицы
1.5. Найти решение системы, используя математический пакет maple. Сравнить результаты с результатами полученными с помощью написанной вами программою.
1.6. Проанализировать результаты. Сделать выводы о точности метода и устойчивости системы.
2. Метод Гаусса-Жордана
Алгоритм
1. Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.
2. Находим наибольший элемент в этом столбце.
3. Если 1-й элемент не является наибольшим в этом столбце то меняем всю первую строку матрицы с строкой матрицы, в которой стоит наибольший элемент столбца.
4. Все элементы первой строки делим на верхний элемент выбранного столбца.
5. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
6. Далее переходим к следующему столбцу, повторяем шаги 3, 4 не учитывая предыдущие строки. Выполняем шаг 5 для всех строк кроме той с которой сейчас работаем. Повторяем этот шаг до тех пор пока не дойдём до
7. В результате получим диагональную матрицу из которой можно сразу найти решение.
3. Результаты.
3.1 Решение модельной задачи, используя написанную программу:
Решая модельную задачу с помощью написанной программы получено следующее приближённое решение:
1.00145
1.00025
0.998751
0.997951
Вектор разности между точным решением и приближённым решением равен 0, что значит что наша программа использующая реализующая метод Гаусса-Жордана вычисляет решение с достаточной точностью.
Также наша программа находит вектор невязки для полученного решения:
-4.44089e-016
-8.88178e-016
8.88178e-016
-8.88178e-016
Найдём 3 нормы вектора невязки:
норма 1:
9.93014e-016
норма 2:
0
норма 3:
8.88178e-016
нормированный определитель:
0.00208227