Министерство общего и профессионального образования российской федерации пензенский государственный университет теория приближения функций

Методические указания к выполнению

лабораторных работ

ПЕНЗА 2001

УДК 517.5

Приведена методика и даны указания для выполнения лабораторных работ по изучению методов теории приближения функций.

Методические указания подготовлены на кафедре «Высшая математика» и предназначены для студентов специальности «Прикладная математика», изучающих курс «Теория приближения функций».

Составитель Н.Ю. Кудряшова

Рецензент - А. В. Гуляев, к.ф.-м.н.,

зав. каф. математического анализа ПГПУ

Введение

Почти во всех областях математики важную роль играют задачи об аппроксимации более сложных объектов менее сложными. В настоящее время теория приближения функций имеет дело в основном с приближением отдельных функций и классов функций с помощью заданных подпространств, каждое из которых состоит из функций, являющихся в каком-то смысле более простыми, чем аппроксимируемые функции. Чаще всего роль таких подпространств играет множество алгебраических многочленов или же множество тригонометрических полиномов заданного порядка n.

В вычислительной практике довольно часто приходится иметь дело с функциями f(x), заданными таблицами их значений для некоторого конечного множества значений x: .

В процессе же решения какой-то конкретной задачи довольно часто бывает необходимо использовать значения f(x) для промежуточных значений аргумента. В этом случае строят некоторую функцию j(x), достаточно простую для вычисления, которая в заданных точках принимает значения , а в остальных точках отрезка [a,b], принадлежащего области определения f(x), приближенно представляет функцию f(x) с той или иной степенью точности, и при решении задачи вместо функции f(x) оперируют с функцией j(x). Задача построения такой функции j(x) называется задачей интерполирования.

К интерполированию приходится иногда прибегать и в том случае, когда для функции f(x) известно и аналитическое представление, с помощью которого можно вычислять ее значения для любого значения x из отрезка [a,b], в котором она определена, но вычисление каждого значения сопряжено с большим объемом вычислений.

В практике вычислений, особенно при работе на ЭВМ, часто приходится встречаться с многократными вычислениями значений заданной функции f(x), например, с вычислениями значений элементарных функций и т.д. Вводить в компьютер эти функции в виде таблиц нецелесообразно, так как таблицы загромождают память. Значительно целесообразней каждый раз вычислять нужное значение функции с заданной точностью e, используя какой-либо алгоритм ее вычисления. Очень часто для этой цели заменяют рассматриваемую функцию f(x) другой, легко вычисляемой функцией j(x), значения которой на всем рассматриваемом отрезке [a,b] изменения x отличаются от значений f(x) не больше чем на e, и в процессе вычислений работают с функцией j(x).