6.20 Найти предел последовательности . Непрерывность какой функции (и в какой точке) использовалась при вычислении предела?

Решение.

= .

Обозначим: . Тогда при (здесь мы воспользова­лись тем, что при , непрерывностью функции в нуле и определением непрерывности по Гейне).

Тогда =

Так как (мы использовали замечательный предел и определение предела по Гейне) и = = = = то = .

Последнее равенство требует обоснования. Перейдём от степенно-показательного выражения к показательному:

= = . Обозначим показатель через и найдём его предел. При предел равен . Поэтому предел равен (здесь мы воспользовались непрерывностью лога­рифма в точке ), то есть равен . Поэтому = = = = . Итак, = и поэтому = = (здесь мы воспользовались непре­рывностью экспоненты в точке ).

7.20. Найти область определения и исследовать на непрерывность функцию , заданную следующим образом:

Решение. Функция = определена при , то есть при . При этих имеем: и, следовательно, и, следовательно, функция = определена. Функция = определена при , то есть при . Обе функции, и определены при . Част­ное функций и определено только при (при и знаменатель равен нулю), однако, при функция специально доопределена: . Итак, областью определения функ­ции является полуинтервал .

Функция, заданная формулой , получена из обрат­ной тригонометрической функции и степенных функций примене­нием арифметических операций и композиций (конечное число раз), явля­ется элементарной и, следовательно, непрерывной в своей естественной области определения . Поскольку совпадает с на интер­вале , то и непрерывна во всех точках этого интервала.

Осталось исследовать на непрерывность в точке :

= = =

= = =

= =[замена: ]=

= =[замена: ]= = = .

Предел существует, но не равен заданному значению функции в точке и, следовательно, функция имеет в точке устранимый разрыв.

8.20. Исследовать на непрерывность функцию и оп­ределить характер точек разрыва.

Решение. Функция непрерывна во всех точках своей об­ласти определения. Так как функция непрерывна всюду, кроме точки , то композиция этих функций – функция непрерывна всюду, кроме, возможно, тех точек, в которых (и, конечно, кроме точки ). Решаем уравнение: . Учитывая непрерывность функции , делаем вывод о непрерывности данной функции во всех точках, кроме точки и, возможно, точек вида .

Заметим, что существует (и равен нулю) как предел произведения бесконечно малой при функции на ограничен­ную . Следовательно, в точке функция имеет устранимый разрыв.

Рассмотрим точку вида , где .

Справа от этой точки (точнее, в правосторонней окрестности ) имеем: и, следовательно, и, следовательно, и, следовательно, . Итак, в правосторонней окрестности точки имеем: и = = . Отме­тим, что мы использовали непрерывность функции . Таким обра­зом, в рассматриваемой точке функция имеет конечный предел справа (и он равен ).

Аналогично, рассматривая левостороннюю окрестность точки , получим: в рассматриваемой точке функция имеет конечный предел справа (и он равен ).

Итак, в точках вида , где функция имеет разрывы пер­вого рода.

В точках вида , где можно было бы провести исследова­ние по аналогии с исследованием, проведённым в точках вида , где . Однако, проще учесть чётность данной функции и тот очевид­ный факт, что предел справа функции в точке равен пределу слева в точке , а предел слева в точке , соответственно, пре­делу справа в точке .

Лабораторная работа № 12

Производная и дифференциал функции: определения, геометрический смысл, физический смысл

Необходимые понятия и теоремы: дифференцируемость и дифферен­циал функции в точке, производная функции в точке, теорема о равно­сильности дифференцируемости и существования производной, теорема о дифференцируемости и непрерывности, касательная к графику функции, мгновенная скорость.

Литература: [1] с. 202 – 214, [2] с. – .