8 Исследовать на непрерывность функцию и определить характер то­чек разрыва (здесь -функция «целая часть», -функция «дробная часть», - функция Дирихле):

№		№
8.1		8.11
8.2		8.12
8.3		8.13
8.4		8.14
8.5		8.15
8.6		8.16
8.7		8.17
8.8		8.18
8.9		8.19
8.10		8.20

Решение типовых примеров

1. 20 Используя непрерывность основных элементарных функций и теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций, доказать непрерывность функции во всех точ­ках области определения :

Решение. Функция непрерывна (это основная элементар­ная функция). Следовательно, непрерывна (как произведение непрерывной на непрерывную ). Так как постоянная функция непрерывна, то и непрерывна (как произведение непрерывной на непрерывную ). Функция непрерывна на (это основная элементарная функция). Следовательно, непрерывна (как разность непрерывной и непрерыв­ной ). Функция непрерывна (многочлены - основные элементарные функции). Следовательно, функция непрерывна (как частное непрерывной и непрерыв­ной ; очевидно, что во всех точках из знаменатель – функ­ция – не равна нулю).

2.20 Функции и являются композициями функ­ций и в разном порядке. Найти функцию . Выяснить, в каких точках функция должна быть непрерывной и какому условию должно удовлетво­рять , чтобы по теореме о непрерывности композиции непре­рывных функций можно было сделать заключение о непрерывности в точке функций и :

Решение. . Для непрерывности функции в точке надо потребовать непрерывность функции в этой же точке . Для не­прерывности функции в точке надо потребовать непрерывность функции в точке .

3.20 Найти естественную область определения элементарной функции . Используя непрерывность основных элементарных функций и теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного и композиции непрерывных функций, доказать непрерывность функции во всех точках своей области определения:

Решение. Функция непрерывна (это многочлен – ос­новная элементарная функция). Функция непрерывна (основ­ная элементарная функция). Учитывая, что (легко найти минимум функции и убедиться, что он больше еди­ницы), заключаем: композиция функций и определена (так как ) и непрерывна (по теореме о непрерывности компози­ции). Учитывая, что функция непрерывна (степенная функция является основной элементарной), а функция непрерывна и строго положительна (так как ), получаем, что функция определена и непрерывна (по теореме о непрерывности композиции).

4.20 Используя односторонние пределы, доказать непрерывность функ­ции в точке .

Решение. Функция непрерывна всюду, в частности, она непрерывна в точке . Поэтому её предел в точке равен значению в этой точке (равен ), а следовательно, и предел в точке слева тоже равен . Предел функции в точке равен ,а следовательно, и предел в точке справа тоже равен . Так как данная функция равна слева от , то = = . Так как данная функция равна справа от , то = = . Из этого следует, что = = , иначе говоря, следует, что непрерывна в точке .

5.20 Найти естественную область определения функции . Доказать непрерывность функции во всех точках своей естественной области определения. Выяснить, является ли эта функ­ция элементарной.

Решение. Точка не принадлежит области определения функции . Во всех других точках функция равна и, следовательно, непрерывна на (эта функция, конечно, не является непрерывной на ).

Так как функции и непрерывны, то по теореме о непре­рывности композиции непрерывных функций, их композиция также непрерывна. Так как функция непрерывна, то и функция непрерывна (снова по теореме о непрерывности композиции).

Для доказательства непрерывности данной функции осталось приме­нить теорему о непрерывности произведения (получим непрерыв­ность функции ) а затем - теорему о непрерывности частного.

Функция является элементарной (она может быть представлена как композиция двух степенных (основных элементарных) функций и . Функция (числитель), конечно, не является элементар­ной (она не непрерывна в точке ) , однако, во всех точках, где знамена­тель не равен нулю, числитель равен единице и данная функция может быть представлена в виде ; она мо­жет быть получена из основных элементарных применением арифметиче­ских операций и композиций в конечном числе и, следовательно, является элементарной.