
- •1 Известно, что функция , непрерывна в точке , являющейся предельной для . Найти .
- •2 Для функции , с областью определения , точки и положительных чисел и найти такие положительные и , что для любых , удовлетворяющих условию , выполняется условие .
- •3 Доказать непрерывность функции , , где в точке непосредственно по определению непрерывности ([1], с. 170) и определению предела функции по Коши ([1], с. 152)
- •7. Найти . Пусть . При каком значении функция будет непрерывна в точке ? Верно ли, что при всех других значениях функция будет иметь устранимый разрыв в точке ?
- •9 Пусть . Определить характер точек разрыва в точках и (или доказать непрерывность в этих точках) и построить график функции :
- •Решение типовых примеров
- •1.20 Известно, что функция , , непрерывна в точке , являющейся предельной для . Найти , если , , .
- •2.20 Для функции , с областью определения , точки и положительных чисел и найти такие положительные и , что для любых , удовлетворяющих условию , выполняется условие .
- •3.20 Доказать непрерывность функции , , где в точке непосредственно по определению непрерывности ([1], с. 170) и определению предела функции по Коши ([1], с. 152), если , .
- •4 Используя односторонние пределы, доказать непрерывность функции в точке :
- •7 Найти область определения и исследовать на непрерывность функцию , заданную следующим образом:
- •8 Исследовать на непрерывность функцию и определить характер точек разрыва (здесь -функция «целая часть», -функция «дробная часть», - функция Дирихле):
- •Решение типовых примеров
- •6.20 Найти предел последовательности . Непрерывность какой функции (и в какой точке) использовалась при вычислении предела?
- •7.20. Найти область определения и исследовать на непрерывность функцию , заданную следующим образом:
- •8.20. Исследовать на непрерывность функцию и определить характер точек разрыва.
- •1 Повторите определение дифференцируемости функции в точке. Докажите непосредственно по определению, что функция дифференцируема в точке . Запишите дифференциал функции в виде :
- •4 Используя excel и разбивая отрезок на 1000 частей точками 0; 0,004; 0,008; 0,016;…;3,996;4
- •8 Найти углы, под которыми график функции пересекает ось абсцисс:
- •Решение типовых примеров
Решение типовых примеров
1.20 Известно, что функция , , непрерывна в точке , являющейся предельной для . Найти , если , , .
Пусть функция определена в точке . Можно ли находить , просто вычисляя значение функции в точке , если известно, что не является непрерывной в точке ?
Решение.
Так как функция
непрерывна в точке 0, то её предел в
этой точке равен значению:
=
.
Если известно, что
не является непрерывной в точке
,
то
не
существует. (Напомним, что в определении
предела функции в точке, принятом в
[1], сама точка
не исключается. Так как функция
определена
в точке
,
то из существования предела следовало
бы, что
=
).
Конечно,
может
существовать, но и в этом случае его
нельзя находить, «вычисляя значение
функции
в точке
»,
так как из разрывности функции
в точке
следует, что
2.20 Для функции , с областью определения , точки и положительных чисел и найти такие положительные и , что для любых , удовлетворяющих условию , выполняется условие .
Для произвольного положительного найти такое положительное , что для любых , удовлетворяющих условию , выполняется условие . Построить график функции и проиллюстрировать геометрически процедуру поиска по заданному . Записать доказанное утверждение, используя понятие предела и понятие непрерывности функции в точке.
,
,
,
.
Решение. Неравенство
равносильно неравенству
.
Если положить
,
то из
следует
.
Доказанное утверждение означает, что
существует
(и равен
),
иначе говоря, означает, что функция
непрерывна
в точке (-3). Заметим, что в качестве
искомого
можно было взять и любое число, меньшее,
чем
.
3.20 Доказать непрерывность функции , , где в точке непосредственно по определению непрерывности ([1], с. 170) и определению предела функции по Коши ([1], с. 152), если , .
Решение.
Согласно
определению непрерывности функции в
точке ([1], с. 170), надо доказать лишь
существование предела
.
Учитывая, что данная функция определена
в точке
,
из существования предела
будет
следовать его равенство значению функции
в точке
.
Итак, требуется доказать, что
.
Рассмотрим
произвольное положительное
и будем искать такое положительное
,
что
из
неравенства
вытекает неравенство
.
Подчеркнём: нам не требуется доказывать
равносильность этих неравенств;
достаточно доказать лишь логическое
следование
.
Неравенство
вытекает из неравенства
,
а это последнее – из высказывания
(в самом деле, если
,
то
и, следовательно,
и, следовательно,
).
Теперь понятно,
какое можно взять
.
Положим
.
Тогда
.
4.20 Построить
график функции
,
и график функции
,
.
Доказать непрерывность функции
,
в точке
непосредственно по определению
непрерывности ([1], с. 170) и
определению
предела функции по Коши ([1], с. 152). Является
ли непрерывной в точке
функция
,
?
В обозначении предела и при формулировке
утверждений о непрерывности обязательно
указывайте область определения функции.
,
,
.
Решение.
Напомним,
что из
следует, что и по любому подмножеству
множества
(для которого
– точка прикосновения) предел
существует и равен
:
.
Так как
и
,
то
.
Так как заданная функция
равна функции
на
,
то
.
Это доказывает непрерывность функции
,
в
точке
.
Отметим, что функция
,
разрывна в точке
(если бы
существовал
и был равен
,
то и
существовал
бы и был бы равен
,
то есть равен
;
легко видеть, что
=
=
=
.
5.20 Для
вычисления значения функции
в точке
значение аргумента
нашли с некоторой погрешностью
.
В результате и значение функции
оказалось получено с некоторой
погрешностью
(то есть вместо
вычислили
;
погрешность значения функции
равна
,
она зависит от погрешности
аргумента). Для указанных функции
,
и точки
доказать, что погрешность
значения функции может быть сделана
сколь угодно малой, если только погрешность
аргумента
достаточно мала. Точнее, доказать, что
для любого положительного
существует такое положительное
,
что для любых
,
удовлетворяющих условиям
и
,
выполняется условие
.
Сформулировать определение непрерывности
функции «на языке приращений».
,
.
Решение.
=
=
=
.
При
(то есть при
)
будет находиться в пределах от (-2) до
0 и, следовательно,
.
Для заданного положительного
положим
.
Ясно, что из
(то есть из
)
следует
.
Доказано, что
,
то есть доказана непрерывность данной
функции в данной точке.
6.20. Сформулировать определение непрерывности функции на языке окрестностей. Построить график функции , . Построить указанную окрестность точки и найти (сначала геометрически, а затем аналитически) такую окрестность точки , что .
,
,
,
.
Решение. Удобнее представить функцию в виде
=
=
=
.
График
этой функции получается из графика
функции
растяжением в 3 раза вдоль оси
(получим
),
сдвигом вправо на 1 единицу (получим
)
и, наконец, сдвигом вверх на 1 единицу
(получим
)
. Через
концы интервала
на оси
(центром этого интервала является
значение функции
), проведём прямые, параллельные оси
,
до пересечения с графиком функции.
Через точки пересечения проведём
прямые, параллельные оси
.
На оси
получим искомую окрестность точки
.
Эта окрестность является интервалом
. (Концы интервала легко найти, решая
уравнения
и
).
Обратим
внимание, что точка
не
является серединой интервала
,
однако, этот интервал является
окрестностью точки
.
Заметим также, что в качестве искомой
окрестности точки
можно
взять любую окрестность, содержащуюся
в интервале
,
например, симметричную окрестность
.
7.20 Найти . Пусть . При каком значении функция будет непрерывна в точке ? Верно ли, что при всех других значениях функция будет иметь устранимый разрыв в точке ?
,
.
Решение.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Так как
при
,
то
=
=
.
Из этого следует, что
непрерывна в точке
тогда и только тогда, когда
,
то есть, когда
.
Так как
существует и конечен, то при
функция
будет иметь в точке устранимый разрыв.
8.20. Пусть = . (Здесь и далее , , обозначают, соответственно, функции «целая часть», «дробная часть» и «функция Дирихле»).
Найти , , , или доказать, что этот предел не существует. Непрерывна ли функция в точке ? Если «нет», то является ли точка точкой устранимого разрыва? Если «нет», то является ли точка точкой разрыва первого рода? Является ли точка точкой разрыва второго рода?
,
.
Решение.
Найдём
.
Так как
=
,
и
=2,
то
=
=
=
.
Отметим, что этот предел не равен значению
функции
в
точке
(
):
функция не является непрерывной справа.
Найдём
.
Так как
=
,
то вопрос о существовании и величине
предела
сводится
к вопросу о существовании и величине
предела
.
Так как
и
=
,
то и
=
.
Итак, функция
в
точке
имеет разрыв второго рода.
9.20. Пусть
.
Определить характер точек разрыва
в точках
и
(или доказать непрерывность в этих
точках) и построить график функции
,
если
,
,
.
Решение. Найдём односторонние пределы в точке :
= = .
=
.
1) обосновывается
существованием предела при
,
стоящего справа от знака равенства;
2) после замены
используем тот факт, что
;
мы его уже использовали при вычислении
пределов в лабораторной работе № 9,
то есть мы уже пользовались непрерывностью
функции
в произвольной точке
.
Таким образом, точка является точкой разрыва второго рода (один из односторонних пределов бесконечен). При этом точка является точкой непрерывности справа.
Найдём односторонние пределы в точке :
=
не существует.
Действительно,
последовательность
стремиться
к
,
а соответствующая последовательность
значений функции
=
стремиться к
.
Последовательность
тоже стремиться к
,
а соответствующая последовательность
значений функции
стремиться к
.
Если бы
существовал, то пределы этой функции
по любым последовательностям, стремящимся
к
,
были бы равны.
Таким образом,
точка
также
является точкой разрыва второго рода
(один из односторонних пределов не
существует). При этом точка 1 не является
точкой непрерывности справа, так как
предел справа не равен значению
функции в этой точке (
).
Лабораторная работа № 11
Исследование функций на непрерывность
Необходимые понятия и теоремы: теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного и композиции непрерывных функций, теорема о непрерывности обратной функции, понятие элементарной функции, теорема о непрерывности элементарных функций,
Литература: [1] с. 169 – 178; 185-195.
1 Используя непрерывность основных элементарных функций и теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций, доказать непрерывность функции во всех точках области определения :
№ |
|
|
№ |
|
|
1.1 |
|
|
1.11 |
|
|
1.2 |
|
|
1.12 |
|
|
1.3 |
|
|
1.13 |
|
|
1.4 |
|
|
1.14 |
|
|
1.5 |
|
|
1.15 |
|
|
1.6 |
|
|
1.16 |
|
|
1.7 |
|
|
1.17 |
|
|
1.8 |
|
|
1.18 |
|
|
1.9 |
|
|
1.19 |
|
|
1.10 |
|
|
1.20 |
|
|
2 Функции
и
являются композициями функций
и
в
разном порядке. Найти функцию
.
Выяснить, в каких точках функция
должна быть непрерывной и какому условию
должно удовлетворять
,
чтобы по теореме о непрерывности
композиции непрерывных функций можно
было сделать заключение о непрерывности
в точке
функций
и
:
№ |
|
|
№ |
|
|
2.1 |
|
|
2.11 |
|
|
2.2 |
|
|
2.12 |
|
|
2.3 |
|
|
2.13 |
|
|
2.4 |
|
|
2.14 |
|
|
2.5 |
|
|
2.15 |
|
|
2.6 |
|
|
2.16 |
|
|
2.7 |
|
|
2.17 |
|
|
2.8 |
|
|
2.18 |
|
|
2.9 |
|
|
2.19 |
|
|
2.10 |
|
|
2.20 |
|
|
3 Найти естественную область определения элементарной функции . Используя непрерывность основных элементарных функций и теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного и композиции непрерывных функций, доказать непрерывность функции во всех точках своей области определения:
№ |
|
№ |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
3.1 |
|
3.11 |
|
3.2 |
|
3.12 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
3.3 |
|
3.13 |
|
3.4 |
|
3.14 |
|
3.5 |
|
3.15 |
|
3.6 |
|
3.16 |
|
3.7 |
|
3.17 |
|
3.8 |
|
3.18 |
|
3.9 |
|
3.19 |
|
3.10 |
|
3.20 |
|